Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 15 из 15)

Лема доведена.

Лема 16 Нехай

– якийсь - замкнутий гомоморф - замкнутих груп. Тоді клас - замкнуть.

Доказ. Нехай група

має - підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. По лемі має нормальну силовску - підгрупу . Оскільки є силовскої - підгрупою в і – гомоморф, те . У групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. Тому через - замкнутість маємо . Лема доведена.

Лема 17 Для будь - якого простого

й будь - якої формації нильпотентних груп клас є - замкнутою формацією.

Доказ. По лемі клас

- замкнуть. По лемі клас - замкнуть і по теоремі 1.1 є формацією.

Теорема 18 Нехай

– локальна підформація формації , – максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо для будь - якого простого формація - замкнута, , то - замкнута.

Доказ. Нехай

. Через теорему 3.3 і леми 4.5, . Формація - замкнута. По лемі формація - замкнута. Теорема доведена.

Теорема Крамер 19 Будь - яка локальна підформація формації

є - замкнутою.

Доказ. Нехай

– локальна підформація формації . має внутрішній локальний - екран . Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Тоді по теоремі 3.3 для будь - якого простого має місце рівність . Тому що , те по лемі формація - замкнута. Тоді по теоремі формація - замкнута. Теорема доведена.

Наслідок Д

рк 20 Нехай група має чотири підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Висновок

У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добутку формацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана, радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцеві розв'язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальної формації

формації всіх груп з нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв'язні групи.

Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальних методах, ідеях і невирішених проблемах, все - таки достаток отриманих результатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальних методів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца, викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку - теорії формацій.

Література

1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. – К., 2003

2 Кертис Ч., Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. – К., 2006

3 Чунихин С.А. О

- властивості кінцевих груп. –К., 2001

4 Шеметков Л.А. Формація кінцевих груп. – К., 2002