Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 2 из 15)

Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.

Теорема 1.1. Добуток будь - яких двох формацій також є формацією.

Лема 1.3. Нехай

і – нормальні підгрупи групи . Тоді кожний головний фактор групи - ізоморфний або деякому головному фактору групи , або деякому головному фактору групи

Доказ випливає з розгляду

- ізоморфізму

Теорема 1.2. Нехай

– деяка формація, – клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать Нехай – об'єднання формацій Тоді – підформація формації

Доказ. З леми 1.3 виводимо, що

– формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас є формацією. Якщо – мінімальна нормальна підгрупа групи , то по індукції для деякого натурального . Але тоді або , або – - корадикал групи . Тому що , те звідси випливає, що , і теорема доведена.

Операції на класах груп

Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.

Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції

, застосованої до класу позначається через Ступінь операції визначається так: Добуток операцій визначається рівностями:

Уведемо операції

в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли вкладається як підгрупа в якусь - групу;

тоді й тільки тоді, коли вкладається як нормальна підгрупа в якусь - групу;

тоді й тільки тоді, коли є гомоморфним образом якоїсь - групи;

тоді й тільки тоді, коли співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних - підгруп;

тоді й тільки тоді, коли має нормальні підгрупи такі, що

тоді й тільки тоді, коли є розширенням - групи за допомогою - групи;

тоді й тільки тоді, коли має нормальну підгрупу таку, що

Якщо

, то замість пишуть Оборотний увага на той факт, що якщо – нормальні підгрупи групи , причому для кожного , то Помітимо ще, що операцію можна визначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов і Мерзляков [1]), що підгрупа прямого добутку називається підпрямим добутком груп якщо проекція на збігається з Легко бачити, що тоді й тільки тоді, коли є добуток деякого кінцевого числа - груп.

Визначення 2.2. Клас

називається замкнутим щодо операції або, більш коротко, - замкнутим, якщо

Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно

- замкнуть і - замкнуть. - замкнутий клас згідно Гашюцу [3] називається насиченим. - замкнутий клас груп називається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп (нормальних підгруп), якщо він - замкнутий (відповідно - замкнуть).