Смекни!
smekni.com

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 3 из 15)

Лема 2.1.

. Якщо клас груп
містить одиничну групу й
- замкнуть, то

Доказ. Щодо операцій

і
твердження очевидно. Нехай
– довільний клас груп. Ясно, що
Якщо
, те в
найдеться нормальна підгрупа
така, що
. Група
має нормальну підгрупу
таку, що
й
Але тоді
Тому що
, те
, а виходить,
Таким чином,
, що й потрібно.

Нехай

. Якщо
, то
має нормальну
- підгрупу
таку, що
Група
має нормальну
- підгрупу
таку, що
. Тому що
й
, те з
- замкнутості класу
треба, що
. Виходить,
, тобто
. Зворотне включення очевидно.

Лема 2.2. Для будь - якого класу

справедливо наступне твердження:

Доказ. Якщо

, то
Нехай
Якщо
, те
, а виходить,
. Таким чином,
. Нехай
. Тоді
має такі нормальні підгрупи
, що
Група
має такі нормальні підгрупи
, що
Тому що
, те
, що й доводить рівність

Лема 2.3. Для будь - якого класу

має місце включення

Доказ. Якщо

, то
. Нехай
і група
є підпрямим добутком груп
, де
. Розглянемо функцію
. Функція
є гомоморфізмом групи
в групу
. Ясно, що

є добуток груп

, причому
. Отже,
, і лема доведена.

Лема 2.4.

У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.

Визначення 2.3. Клас груп

називається класом Фиттинга, якщо він одночасно
- замкнутий і
- замкнуть.

Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа – фактор - група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.

Визначення 2.4. Нехай

непустий
- замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через
і назвемо
- радикалом групи
добуток всіх її нормальних
- підгруп.

Класи

є радикальними.
- радикал групи
– це її підгрупа Фиттинга
- радикал позначають інакше через
і називають
- радикалом.
- радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни
- нильпотентний радикал,
- замкнутий радикал і т.д. Клас усіх
- нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним;
– це
- нильпотентний радикал групи
.