Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 4 из 15)

Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій

Теорема 2.1. Нехай

і – формації, причому або , або замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді – формація, що збігається з добутком

Визначення 2.5. Нехай

– деяка множина груп. Нехай – перетинання всіх тих формацій, які містять клас називається формацією, породженої множиною груп

Помітимо, що операцію

часто позначають інакше через Якщо те пишуть замість , причому в цьому випадку називають формацією, породженою групою .

Теорема 2.2. Для будь - якого класу

має місце рівність:

Доказ. Якщо

, те , і твердження вірно. Нехай . Тому що , те клас є - замкнутим. є клас і по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо

Останнє означає

- замкнутість класу . Отже, – формація, що містить , тому що . Виходить, . Зворотне включення очевидно.

Лема 2.5. Для будь - яких елементів

групи виконуються рівності Якщо – підгрупи групи , то виконуються наступні твердження:

1)

2)

для будь - якого гомоморфізму групи ; зокрема, якщо група з нормалізує й , те нормалізує й

Лема 2.6 Нехай

– підгрупа нильпотентної групи , причому . Тоді

Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь - якому натуральному

виконується включення:

При

це вірно, тому що , а виходить, . Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь . Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо

Тим самим (*) доведено.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо

– така підгрупа групи , що , то

Доказ. Нехай

– нильпотентна нормальна підгрупа групи , а – така підгрупа з , що . Доведемо індукцією по , що . Це вірно, якщо . Тому будемо вважати, що . Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку

Очевидно, підгрупа

нормалізує й . Позначимо через підгрупу групи , породжену підгрупами . Оскільки проекції на множники прямого добутку рівні , те . Помітимо ще, що , де нормально в і нильпотентна як добуток з .