Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 5 из 15)

Нехай

– центр підгрупи , . Легко бачити, що , причому й ; аналогічно, і . Але тоді , абелева й нормальна в. Якщо , те , де , і якщо , те , що тягне . Отже, . Якщо абелева, те , і ми маємо

Припустимо тепер, що

. Ясно, що . Тому що

те

нильпотентна щабля . Тому що , те ізоморфна й має щабель , а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання в має щабель . Тому що нормалізує й , те нормальна в. Отже, , причому . По індукції

Для групи

і її нильпотентної нормальної підгрупи щабля теорема також вірна по індукції. Тому

Теорема доведена.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.

Доказ. Нехай

– підформація формації . Якщо , то по теоремі 2.3 має місце , що й потрібно.

Екрани

Недоліком поняття групової функції

є те, що не завжди ущільнення - центрального ряду нормальними підгрупами є - центральним рядом.

Визначення 3.1. Відображення

класу всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь - якої групи виконуються наступні умови:

1)

– формація;

2)

для будь - якого гомоморфізму групи ;

3)

.

З умови 2) випливає, що екран

приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо – екран, те кожний f - центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f - центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f - центральними рядами, співпадає з формацією .

Лема 3.1. Нехай

– екран, – група операторів групи , – деяка нормальна - припустима підгрупа з . Якщо володіє нормальним - припустимим рядом, фактори якого - центральні відносно , то один з таких рядів проходить через .

Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:

Нехай

. Тоді ряд

буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й

- ізоморфизми:

Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої непустої множини екранів також є екраном;

2) об'єднання будь - якого непустого ланцюга екранів також є екраном.

Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів

є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості , уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь - якої групи множина формацій лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання є формацією. Тим самим лема доведена.

Визначення 3.2. Екран

назвемо:

1) p - однорідним, якщо він p - постійний і для будь - якої групи

і її силовської p – підгрупи має місце ;