Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.
Доказ. Нехай
– екран формації . Визначимо функцію в такий спосіб: для будь - якої групи . Легко бачити, що – екран, причому . Якщо й – головний фактор групи , то . Тому що клас - замкнуть, те , а виходить, - центральний Таким чином, . Отже, , тобто – шуканий внутрішній екран.Лема 3.7. Нехай
– екран формації . Тоді є екраном формації .Доказ. Нехай
– довільний головний фактор групи . Нехай . Тому що , те . Виходить, , тобто - в. Звідси треба, що .Обернено, якщо
, те головний ряд групи буде - центральним для будь - якого , тобто . Отже, .Лема 3.8. Перетинання
будь - якої непустої множини екранів формації знову є екраном формації . Крім того, якщо в є хоча б один внутрішній екран, те – внутрішній екран.Доказ. Те, що
– екран формації , безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у є внутрішній екран . Тоді для будь - якої групи . Виходить, – внутрішній екран.Формація з однорідним екраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.
Доказ. Нехай формація
має однорідний екран. Через лему 3.6 формація має внутрішній однорідний екран . Побудуємо локальний екран , що задовольняє наступній умові: для будь - якого простого . Тоді й, отже, . Припустимо, що формація має групи, що не входять в , і виберемо серед всіх таких груп групу , що має найменший порядок. Тоді є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи . Тому що , те для кожного має місцеЯкщо
неабелева, то й . Якщо ж – - група, то виходить, що - центральна в. А це суперечить тому, що . Теорема доведена.Локальна формація
Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.
Визначення 4.1. Формація
називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.Визначення 4.2. Нехай
– внутрішній локальний екран формації , що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації . Тоді називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація
має єдиний максимальний внутрішній локальний екран , причому задовольняє наступній умові: для будь - якого простого числа p.Визначення 4.3. Нехай
– локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації назвемо мінімальним локальним екраном формації .