Смекни!
smekni.com

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 7 из 15)

Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.

Доказ. Нехай

– екран формації
. Визначимо функцію
в такий спосіб:
для будь - якої групи
. Легко бачити, що
– екран, причому
. Якщо
й
– головний фактор групи
, то
. Тому що клас
- замкнуть, те
, а виходить,
- центральний
Таким чином,
. Отже,
, тобто
– шуканий внутрішній екран.

Лема 3.7. Нехай

– екран формації
. Тоді
є екраном формації
.

Доказ. Нехай

– довільний головний фактор групи
. Нехай
. Тому що
, те
. Виходить,
, тобто
- в.
Звідси треба, що
.

Обернено, якщо

, те головний ряд групи
буде
- центральним для будь - якого
, тобто
. Отже,
.

Лема 3.8. Перетинання

будь - якої непустої множини
екранів формації
знову є екраном формації
. Крім того, якщо в
є хоча б один внутрішній екран, те
– внутрішній екран.

Доказ. Те, що

– екран формації
, безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у
є внутрішній екран
. Тоді
для будь - якої групи
. Виходить,
– внутрішній екран.

Формація з однорідним екраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.

Доказ. Нехай формація

має однорідний екран. Через лему 3.6 формація
має внутрішній однорідний екран
. Побудуємо локальний екран
, що задовольняє наступній умові:
для будь - якого простого
. Тоді
й, отже,
. Припустимо, що формація
має групи, що не входять в
, і виберемо серед всіх таких груп групу
, що має найменший порядок. Тоді
є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи
. Тому що
, те для кожного
має місце

Якщо

неабелева, то
й
. Якщо ж
- група, то виходить, що
- центральна в.
А це суперечить тому, що
. Теорема доведена.

Локальна формація

Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.

Визначення 4.1. Формація

називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.

Визначення 4.2. Нехай

– внутрішній локальний екран формації
, що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації
. Тоді
називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації
.

Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація

має єдиний максимальний внутрішній локальний екран
, причому
задовольняє наступній умові:
для будь - якого простого числа p.

Визначення 4.3. Нехай

– локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації
назвемо мінімальним локальним екраном формації
.