Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 8 из 15)

Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, що є до того ж внутрішнім екраном.

Доказ. Нехай

– множина всіх локальних екранів формації , причому . Позначимо через перетинання множини екранів . У множині є внутрішній екран, тому – внутрішній екран формації . По лемі 3.4 екран є локальним. Через лему 3.8 – шуканий екран.

Побудова локальних формацій

1. Формація всіх груп. Формація

має локальний екран таким, що для будь - якого простого .

2. Формація одиничних груп. Формація

має порожній екран, що, мабуть, локальний.

3. Формація нильпотентних

- груп. Нехай – формація всіх нильпотентних - груп, – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Очевидно, – мінімальний локальний екран формації .

4. Формація

- груп. Нехай – формація всіх - груп, – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Очевидно, –локальний екран формації .

5. Формація

- нильпотентних груп. Нехай – формація всіх - нильпотентних груп ( – фіксоване простої число), – такий локальний екран, що для будь - якого простого числа , відмінного від . Покажемо, що – екран формації . Головний ряд - нильпотентної групи - центральний. Нехай . Потрібно встановити, що - нильпотентна. Нехай – мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції - нильпотентна. Якщо – - група, то звідси треба, що й - нильпотентна. Якщо ж - група, те , тобто . Якщо тепер – - підгрупа з , то через підгрупа - нильпотентна, а виходить, і - нильпотентна. Тим самим показано, що .

Теорема 5.1. У кожній

- групі підгрупа збігається з перетинанням у всіх головних - факторів групи .

Наслідок 5.1.1. У будь - якій групі

підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням у всіх головних факторів групи .

Наслідок 5.1.2. Для кожної

- розв'язної групи має місце включення .

Наслідок 5.1.3. (Фиттинг).

для будь - якої розв'язної групи .

Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант

- групи - нильпотентний.

6. Формація

- замкнутих груп. Нехай – формація всіх - замкнутих груп ( – деяка фіксована множина простих чисел), – такий локальний екран, що для кожного для кожного . Покажемо, що – екран формації .