Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 9 из 15)

Очевидно,

. Припустимо, що клас не порожній, і виберемо в ньому групу найменшого порядку. Тоді має єдину мінімальну нормальну підгрупу , причому не є - групою. Нехай . Тому що , те , а виходить, . Тому – абелева - група. Тому що - замкнута, те й - замкнута, тобто має нормальну - підгрупу . Ясно, що . Тому що , те . Легко бачити, що , а виходить, і група - замкнута. Тим самим показано, що .

7. Формація

- дисперсивних груп. Нехай – деяке лінійне впорядкування множини всіх простих чисел, – формація всіх - дисперсивних груп. Покажемо, що локально.

Розглянемо всілякі множини

простих чисел, що володіють наступною властивістю: для всіх . Нехай – формація всіх - замкнутих груп. Очевидно, . Тому що формації локальні, то по лемі 3.4 формація також є локальною.

8. Формація

- розв'язних груп. Нехай – формація всіх - розв'язних груп, – такий локальний екран, що для будь - якого простого . Неважко помітити, що – максимальний внутрішній локальний екран формації . Зокрема, формація є локальною.

9. Формація

- груп. Нехай – формація всіх - груп. Позначимо через формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить . Побудуємо локальний екран такий, що для кожного для кожного . Покажемо, що . Ясно, що . Нехай , – мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції . Якщо – - група, то - понад розв'язна. Нехай порядок ділиться на деяке число . Тоді, якщо , те

Звідси треба, що

– - група.

Лема 5.1. Нехай

– деяка що не приводиться абелева група автоморфизмів - групи й . Тоді – циклічна група порядку, що ділить . Крім того, – найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню .

Доказ. Будемо вважати, що

– аддитивна абелева група. Тоді можна розглядати як правий векторний простір розмірності над полем з елементів. Нехай – комутативне підкольцо кільця , породжене елементами й . Через умову є правим - модулем (визначення, пов'язані з - модулями, див. у Кертиса й Райнера [1]). По лемі Шура, – тіло. Тому що комутативне, те . Легко бачити, що множина всіх ненульових елементів із замкнуто щодо операції множення й, отже, є групою. Тому – поле. Тому що - модуль не приводимо, те для будь - якого ненульового ; але тоді відображення , є - гомоморфізмом - модуля на . Тому що ядро є ідеал поля , те – ізоморфізм. Отже, . Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому циклічна й ділить .