Курсова робота
Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Введення
Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.
У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.
Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою
й всі групи, ізоморфні .Якщо група (підгрупа) належать класу
, то вона називається групою ( - підгрупою).Визначення 1.2. Клас груп
називається формацією, якщо виконуються наступні умови:1) кожна фактор - група будь - якої групи з
також належить ;2) із
завжди треба .Якщо формації
й такі, що , то називається підформацією формації .По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина
всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація – це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас усіх - груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нильпотентних груп, клас усіх - груп ( – фіксоване простої число), клас всіх нильпотентних - груп, клас всіх розв'язних груп, клас всіх розв'язних - груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;
2) якщо
– деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то об'єднання є формацією.Доказ здійснюється перевіркою.
Визначення 1.3. Нехай
– непуста формація. Позначимо через і - корадикалом групи перетинання всіх тих нормальних підгруп з , для яких .Очевидно,
- корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою. - корадикал групи позначають інакше через і називають - корадикалом. - корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, - розв'язний корадикал, - корадикал і т.д. - корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, - корадикал зберігається при гомоморфізмах.Лема 1.2. Нехай
– непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:1)
2) якщо
те3) якщо
й , теДоказ. Нехай
. ТодіЗвідси треба, що
. З іншого боку,звідки одержуємо
. З і треба рівність . Твердження 1) доведено.Нехай
– природний гомоморфізм групи на Очевидно,звідки треба рівність
. Зокрема, якщо , те . Лема доведена.Визначення 1.4. Нехай
і – деякі формації. Якщо , то покладемо Якщо , те позначимо через клас всіх тих груп , для яких Клас називається добутком формацій і .З визначення 1.4 треба, що добуток формацій
є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій причому добуток уже визначений, то Зокрема, якщо для будь - якого те ми приходимо до поняття ступеня