Смекни!
smekni.com

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 1 из 15)

Курсова робота

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями


Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.

У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.


Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою

й всі групи, ізоморфні
.

Якщо група (підгрупа) належать класу

, то вона називається
групою (
- підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп

називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор - група будь - якої групи з

також належить
;

2) із

завжди треба
.

Якщо формації

й
такі, що
, то
називається підформацією формації
.

По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина

всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація
– це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас
усіх
- груп, клас
всіх абелевих груп, клас
всіх нильпотентних груп, клас
усіх
- груп (
– фіксоване простої число), клас
всіх нильпотентних
- груп, клас
всіх розв'язних груп, клас
всіх розв'язних
- груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.

Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;

2) якщо

– деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення
, то об'єднання
є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай

– непуста формація. Позначимо через
і
- корадикалом групи
перетинання всіх тих нормальних підгруп
з
, для яких
.

Очевидно,

- корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою.
- корадикал групи
позначають інакше через
і називають
- корадикалом.
- корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал,
- розв'язний корадикал,
- корадикал і т.д.
- корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант,
- корадикал зберігається при гомоморфізмах.

Лема 1.2. Нехай

– непуста формація,
. Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо

те

3) якщо

й
, те

Доказ. Нехай

. Тоді

Звідси треба, що

. З іншого боку,

звідки одержуємо

. З
і
треба рівність
. Твердження 1) доведено.

Нехай

– природний гомоморфізм групи
на
Очевидно,

звідки треба рівність

. Зокрема, якщо
, те
. Лема доведена.

Визначення 1.4. Нехай

і
– деякі формації. Якщо
, то покладемо
Якщо
, те позначимо через
клас всіх тих груп
, для яких
Клас
називається добутком формацій
і
.

З визначення 1.4 треба, що добуток формацій

є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій
є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій
причому добуток
уже визначений, то
Зокрема, якщо
для будь - якого
те ми приходимо до поняття ступеня