Курсова робота
Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Введення
Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.
У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.
Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою

й всі групи, ізоморфні

.
Якщо група (підгрупа) належать класу

, то вона називається

групою (

- підгрупою).
Визначення 1.2. Клас груп

називається формацією, якщо виконуються наступні умови:
1) кожна фактор - група будь - якої групи з

також належить

;
2) із

завжди треба

.
Якщо формації

й

такі, що

, то

називається підформацією формації

.
По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина

всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація

– це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас

усіх

- груп, клас

всіх абелевих груп, клас

всіх нильпотентних груп, клас

усіх

- груп (

– фіксоване простої число), клас

всіх нильпотентних

- груп, клас

всіх розв'язних груп, клас

всіх розв'язних

- груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.
Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;
2) якщо

– деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення

, то об'єднання

є формацією.
Доказ здійснюється перевіркою.
Визначення 1.3. Нехай

– непуста формація. Позначимо через

і

- корадикалом групи

перетинання всіх тих нормальних підгруп

з

, для яких

.
Очевидно,

- корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою.

- корадикал групи

позначають інакше через

і називають

- корадикалом.

- корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал,

- розв'язний корадикал,

- корадикал і т.д.

- корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант,

- корадикал зберігається при гомоморфізмах.
Лема 1.2. Нехай

– непуста формація,

. Тоді справедливі наступні твердження:
1)

2) якщо

те

3) якщо

й

, те

Доказ. Нехай

. Тоді

Звідси треба, що

. З іншого боку,

звідки одержуємо

. З

і

треба рівність

. Твердження 1) доведено.
Нехай

– природний гомоморфізм групи

на

Очевидно,

звідки треба рівність

. Зокрема, якщо

, те

. Лема доведена.
Визначення 1.4. Нехай

і

– деякі формації. Якщо

, то покладемо

Якщо

, те позначимо через

клас всіх тих груп

, для яких

Клас

називається добутком формацій

і

.
З визначення 1.4 треба, що добуток формацій

є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій

є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій

причому добуток

уже визначений, то

Зокрема, якщо

для будь - якого

те ми приходимо до поняття ступеня