Метод векторів та його застосування (стр. 10 из 15)

Доведення: доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі (

, , ), ( , , ), ( , , ). Тоді за означенням координат вектора

= + + , = + + .

Отже,

+ = + + + + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) .

Звідси випливає, що координати вектора

+ відповідно дорівнюють + + , + , + , що й треба було довести.

Аналогічно доводяться й інші властивості.

Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори

( , , ), ( , , ) задані в деякому базисі ( , , ), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.

Доведення: якщо

= , то твердження очевидне. Припустимо, що .

1. Необхідність. Нехай

|| . Тоді існує таке число λ, що = λ , звідки випиває, що = λ , = λ , = λ ;

= λ.

Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.

2. Достатність. Нехай

= λ, тоді = λ , = λ , = λ . Помноживши ці рівності на вектори , , відповідно, дістанемо = λ , = λ , = λ . Додавши ці рівності дістанемо + + = λ + λ + λ або + + = λ( + + ), тобто = λ || . Теорему доведено.