Метод векторів та його застосування (стр. 11 из 15)

5. Тривимірний векторний простір і його підпростори

Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:

;

) +

+ (

);

;

+ (-

) =

;

: 1*

;

α, β

: α(β

) = (αβ)

;

α, β

: (α + β)

= α

+ β

;

: α(

) = α

+ α

– називається векторним простором. Позначимо його

У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.

Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:

1) ця система векторів лінійно незалежна;

2) будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.

Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.

З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Тому розмірність даного простору

дорівнює трьом. У зв’язку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.

Означення: нехай L – непорожня множина векторів із векторного простору

. Множина L називається векторним підпростором простору

, якщо виконуються такі умови:

1) якщо

L, то

2) якщо

L, то і α