Метод векторів та його застосування (стр. 14 из 15)

Задача 2. Якщо точки M і N належать відрізкам AB і CD, та AM: MB = CN: ND = m: n, то виконується рівність

= + .

Доведення: за умовою та за формулою, що була доведена в задачі 1, маємо:

= + = ( + )+ ( + )= + + (m + n). Вираз m +n = , отже ми довели, що і треба було довести.

Задача 3. У трикутнику ABC точка O – центр описаного кола, H – точка перетину його висот. Довести, що .

Доведення: за умовою

(за означенням скалярного добутку). Проте, , , тому ( )( )=0 /1/. Крім того, ( )( )=0 /2/ (як радіуси описаного кола). Віднімаючи /2/ від /1/, матимемо ( )( – ) = 0. Аналогічно з умов = 0 і , маємо ( )( – ) = 0. Оскільки і , то вектор, перпендикулярний до кожного з них, може бути тільки нульовим, тобто – = 0. Звідси , що і треба було довести.

Задача 4. В коло вписано чотирикутник ABCD, перетинаються в точці M. Через середину S сторони CD проведено пряму SM так, що (AB)

(SM) = K. Довести, що AK: KB = : .

Доведення: позначимо AK: KB = x. Тоді за формулою /*/ (див. задачу 1) . Оскільки вектори і колінеарні, а точка S є серединою відрізка CD, то . Використавши рівність MA MC = MB MD = k дістанемо . Отже, , а

. За теоремою про єдність розкладу вектора за двома не колінеарними векторами маємо

Звідси x =

.

Задача 5. Дано три точки A, B, C і деяка точка O. Довести, що рівність

/#/ при A B є необхідною і достатньою умовою належності точок A, B, C одній прямій.

Доведення: Необхідність. Нехай точки A, B, C належать одній прямій, тоді

. Ця рівність рівносильна такій .Звідси .

Достатність. Нехай

. Тоді або , тому і колінеарні, і, отже, A, B, C належать одній прямій.

Задача 6. Точка D належить стороні BC трикутника ABC. Довести, що .

Доведення: за формулою /#/ маємо

. Оскільки

. Отже, , що і треба було довести.

Задача 7. Довести, що косинус кута між медіанами катетів рівнобедреного трикутника дорівнює

.

Доведення: нехай задано рівнобедрений прямокутний трикутник OAB (OA = OB = a), точки M і N – відповідно середини OA і OB. Розмістимо цей трикутник в прямокутну систему координат так, щоб точка O збігалася з початком координат, а катети OA і OB лежали на відповідних осях координат x і y. Тоді в цій системі координат матимемо A (a; 0), B (0; a), M( ; 0), N (0; ). Вектори, які збігаються з медіанами, матимуть координати (-a; ) і ( ; a). Кут між медіанами – це кут між векторами і , який знайдемо за формулою: cos( , ) , що й треба було довести.