Метод векторів та його застосування (стр. 15 из 15)

Задача 8. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2: 1, рухаючи від вершин.

Доведення: нехай , , – медіани трикутника ABC; і перетинаються в точці O. Тоді (бo || ) і (бо || ). Звідси - = . Враховуючи єдність розкладу вектора за двома неколінеарними векторами і , знаходимо, що k = -1, – p = 1. Отже, , то . За умовою , тому , або OC: = 2: 1 і, отже, точки C, O, належать одній прямій. З цього випливає, що медіана також проходить через точку О і ділиться нею у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини, що й треба було довести.

Задача 9. Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD. Чи є лінійно залежними вектори: а)

і ; б) і ; в) ; г) ; д) ; е) ?

Розв’язання: вектори і неколінеарні, тому за теоремою про колінеарні вектори вони не є лінійно залежними.

і колінеарні, а тому лінійно залежні.

і колінеарні, отже, лінійно залежні; за властивістю три вектори також лінійно залежні.

Вектори

компланарні, тому за теоремою вони лінійно залежні.

не є компланарними, за теоремою вони не є лінійно залежними.

– три некомпланарні вектори. За теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами, вектор є лінійною комбінацією цих векторів. За властивістю лінійно залежні.

Задача 10. Обчислити кут між векторами

і , де і – одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

Розв’язання: формула косинуса кута: cos(

, )= . Обчислимо , , .

;

.

Тоді cos(

, ) = ; cos( , ) = .

Відповідь:

.

Задача 11. Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін.

Розв’язання: Нехай ABCD – даний паралелограм. Покладемо

, ( ). За означенням суми і різниці векторів . Використовуючи властивості скалярного квадрату, отримаємо: тобто .

Задача 12. З якою силою F треба утримувати вантаж вагою P на похилій площині, щоб він не скочувався вниз?

Розв’язання: нехай O – центр маси вантажу, до якого прикладено силу P. Розкладемо вектор

за двома взаємно перпендикулярними напрямами, як показано на малюнку. Сила перпендикулярна до похилої площини і не викликає переміщення вантажу. Сила F, яка утримує вантаж, має дорівнювати за величиною і бути протилежною за напрямом силі OB. Тому F = P sinα.

Висновок

Таким чином в своїй курсовій роботі на тему «Метод векторів та його застосування» я подала короткі теоретичні відомості про поняття вектора, рівносильність векторів, додавання, віднімання та множення вектора на число, колінеарність, компланарність, лінійну залежність векторів, координати вектора, скалярний добуток векторів а також про векторний простір та його підпростори. А в практичній частині, на прикладах показала доцільність його застосування. Метод векторів широко застосовується в різних галузях науки (математиці, фізиці). Часто його застосування значно полегшує розв’язування деяких задач, а інших випадках задачу взагалі неможливо розв’язати іншим способом.

Література

1. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия, Ч.І. – М: Просвещение, 1974. – 351 с.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, Ч.І – М: Просвещение, 1986. – 336 с.

3. Атанасян Л.С. Геометрия, Ч.І – М: Просвещение, 1967. – 300 с.

4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометри, Ч.І. – М: Просвещение, 1973. – 256 с.

5. Яковець, Боровик, Коваленко. Аналітична геометрія: навч. пос. – Суми: Університецька книга, 2004. – 295 с.

6. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии, М: Наука, 1970. – 335 с.

7. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометри, М: Наука, 1972. – 240 с.

8. Панішева О.В. Векторний метод: Інтегрований урок геометрії та фізики, Математика. – 2000. – №14. – с. 4 – 5.

9. Єгорова Г.О. Векторний і координатний методи розв’язування задач, Математика. – 2001. – №5. – с. 5 – 11.