Метод векторів та його застосування (стр. 7 из 15)

Лінійна залежність векторів

Означення. Система векторів

називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,… , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що + + … + = 0. / 4/

Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при

= =…= = 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.

Сума

+ + … + називається лінійною комбінацією векторів .

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.

Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів

лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що + + … + = 0 /5/

При цьому принаймні одне з чисел

, ,…, не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, 0. Тоді з рівності /5/ дістанемо:

= – – – – – .

Отже, вектор

є лінійною комбінацією векторів , ,… , ,…, .

3. Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор

є лінійною комбінацією інших векторів:

= + + … + + + … + .

Цю рівність можна записати так:

+ + … + + (-1) + + … + = 0.

У цій рівності коефіцієнт біля

відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.

Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.

Властивість 4. Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.

Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор:

, , то

виконується рівність 1*

+ 0* +… + 0* =0. 1 0, тому така система є лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.

Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми.

Теорема 1. Два вектори

і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів

, лінійно залежна. Тоді за
властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий: = α , звідки випливає, що вектори і колінеарні.

2. Достатність. Нехай вектори

і колінеарні. Тоді існує таке число α, що = α . Із властивості 1 випливає, що вектори і лінійно залежні. Теорему доведено.