Методология изучения темы Признаки равенства треугольников (стр. 1 из 4)
КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу «Основы преподавания математики»
на тему : «Методология изучения темы «Признаки равенства треугольников»»
Кировоград
2003
СОДЕРЖАНИЕ
I. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников».….3
II. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»
УРОК 1. Тема урока «Треугольник. Виды треугольников»…………………….…..8
УРОК 2. Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников» ……………………………………………………………………….11
УРОК 3. Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников» ..15
УРОК 4. Тема урока: «Признаки равенства треугольников» ..................................18
УРОК 5. Тема урока: “Решение прикладных задач» ................................................22
УРОК 6. Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»……26
Приложения к урокам………………………………………………………………...30
Перечень использованной литературы……………………………………………...33
I. Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников»
Признаки равенства треугольников
Первый признак
 | Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. |
Второй признак
 | Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. |
Третий признак
 | Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны |
Справочная таблица.
Теорема 1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 Ð А = Ð А1, АВ=А1В1, АС=А1С1. Докажем, что треугольники равны, т.е. докажем, что у них и ÐВ=ÐВ1, ÐС=ÐС1, ВС=В1С1.
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В2С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина В2 лежит на луче А1В1, а вершина С2 лежит одной полуплоскости с вершиной С1 относи-тельно прямой А1В1. Так как А1В1=А1В2, то по аксиоме откладывания отрезков точка В2 совпадает с точкой В1. Так как ÐВ1А1С1=ÐВ2А1С2, то по аксиоме откладывания углов луч А1С2 совпадает с лучом А1С1. И так как А1С1=А1С2, то вершина С2 совпадает вершиной С1. Итак, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.
Теорема 2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых Ð А = Ð А1, ÐВ=ÐВ1, АВ=А1В1. Докажем, то треугольники равны, т.е. докажем, что АС=А1С1, ÐС=ÐС1, ВС=В1С1. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В2С2 равный треугольнику АВС, у которого вершина В2 лежит на луче А1В1, а вершина С2 лежит в одной полуплоскости вершиной С1 относительно прямой А1В1. Так как А1В2=А1В1, то вершина В2 совпадает с вершиной В1. Так как ÐВ1А1С2=ÐВ1А1С1 и ÐА1В1С2=ÐА1В1С1, то по аксиоме откладывания углов луч А1С1 совпадает с лучом А1С2, а луч В1С1 совпадает с лучом В1С2. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает вершиной С1. Итак, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.
Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство.
Пусть АВС – равнобедренный треугольник с основанием АВ. Докажем, что у него ÐА=ÐВ. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА=В, СВ=СА, ÐС=ÐС. Из равенства треугольников следует, что ÐА=ÐВ. Теорема доказана.
Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Теорема 4. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство.
Пусть АВС – треугольник, в котором ÐА=ÐВ. Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ=ВА, ÐВ=ÐА, ÐА=ÐВ. Из равентва треугольников следует, что АС=ВС. Теорема доказана.
Теорема 4 называется обратной теореме 3. Заключение теоремы 3 является условием теоремы 4. А условие теоремы 3 является заключением теоремы 4.
Определение. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.
Определение. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
Определение. Мединой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.
Теорема 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство.
Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АВ. Пусть СК – медиана, проведенная к основанию. Треугольники САД и СВД равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САК и СВК равны по теореме 3. Стороны АК и ВК равны, потому что К – середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: ÐАСК=ÐВСК, ÐАКС=ÐВКС. Так как углы АКС и ВКС равны, то СК – биссектриса. Так как углы АКС и ВКС смежные и равны, то они прямые, поэтому СК – высота треугольника. Теорема доказана.
Теорема 6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть АВС и А1В1С1 два треугольника, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1. Докажем, что эти треугольники равны. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1. Допустим, что вершина С1 не лежит ни на луче А1С1, ни на луче В1С1. Пусть К – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 – равнобедренные с общим основанием С1С2. По теореме 5 их медианы А1К и В1К являются высотами. Значит, прямые А1К и В1К перпендикулярны прямой С1С2. Но это невозможно, так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче А1С1, либо на луче В1С1. В первом случае точка С2 совпадает с С1, так как А1С1=АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1. Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Теорема доказана.
II. Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»
УРОК 1
Тема урока: «Треугольник. Виды треугольников»
Цели урока:
- развить представление о многоугольнике;
- вывести понятие треугольника и его элементов, познакомиться с классификацией треугольников по сторонам и углам;
Из опыта практической деятельности получить вывод о сумме углов треугольника.
Оборудование: слайды для кодоскопа; модели треугольников разных видов; модели тетраэдра; печатные карточки.
Ход урока
I. Урок начинается с беседы учителя.
· Среди множества различных фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников. Слово «многоугольник» указывает на то, что у всех фигур из этого семейства «много углов». Для определения многоугольника важно указать, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга.