Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине (стр. 1 из 2)

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Преподаватель: Станкевич И.В.

Группа: ФН2-101

Студент: Смирнов А.В.

Москва 2002

Содержание

Постановка задачи....................................................................................................................................................................... 3

Решение............................................................................................................................................................................................ 4

Триангуляция............................................................................................................................................................................ 5

Метод конечных элементов.................................................................................................................................................. 6

Список литературы:................................................................................................................................................................... 12

Постановка задачи

Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).

К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью

. На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена и температурой среды . Коэффициент теплопроводности материала пластины

Рис. 1
Решение

Введем декартову систему координат

, выбрав начало координат и направим оси x и y так, как показано на рис.2.

Рис. 2

Задача теплопроводности в пластине запишется в виде

(1)

(2)

(3)

где

- направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности, - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена , - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности .

Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала

. (4)

Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.

Триангуляция.

Результат триангуляции представлен на рис.3.

Рис. 3

Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.

Метод конечных элементов

Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины

и . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы

, (5)

где

, A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры в узловых точках

. (6)

Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов

, каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e

. (7)

Минимум функционала (4) находим из условия

(8)

Функционал

можно представить в виде

(9)

Здесь

, глобальный вектор температур , - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор температур . Здесь матрица геометрических связей имеет размерность . Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все остальные элементы равны нулю.

Продифференцируем функционал (9):

Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем

, где матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента .

В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.

В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица

и вектор будут определяться несколько различным образом.

Обозначим

.

Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат

. Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью . Координаты определяются из соотношений .

Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:

Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то

. Если ко второй, то . Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то .

Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений