Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (стр. 4 из 9)

Со времён Кантора порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами (ординалами). Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (трансфинитами).

Определение 2.6. Порядковое число

меньше порядкового числа ( ), если какое-либо вполне упорядоченное множество типа изоморфно некоторому отрезку какого-нибудь вполне упорядоченного множества типа .

Пусть

- некоторое ординальное число. Обозначим W(

) – множество всех ординальных чисел, меньших

.

Теорема 4.1. Отношение

<

, установленное для ординальных чисел, превращает множество W(

) всех ординальных чисел, меньших данного ординального числа

, во вполне упорядоченное множество типа

.

Доказательство.

Из определения 2.6 следует, что множество W (

) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков А_хпроизвольно выбранного множества А типа ; так как отрезки А_х взаимно однозначно соответствуют элементам х А, то имеем взаимно однозначное соответствие = f (х), х А, W( ) между множеством W( ) и множеством А типа . При этом соответствии из х < x’ в А следует, что А_х есть отрезок множества А_х’ , значит, = f (x) < = f (x’) в W ( ), и обратно. ■

Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:

1) А

В = Х;

2) А

В = Æ;

3) для любых х

А и у

В выполняется неравенство х < у.

Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел

и

всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо

<

, либо

=

, либо

>

.

Доказательство.

Пусть даны два ординальных числа

и . Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что и могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений: = , < , > .

Обозначим через D множество W (

) W ( ). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через . Докажем неравенства , . Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем D W ( ). Если D = W ( ), то есть порядковый тип множества W ( ), то есть = . Пусть D W ( ). Разбиение W ( ) = D (W( )&bsol;D) есть сечение во вполне упорядоченном множестве W ( ). В самом деле, пусть х D, у W ( )&bsol;D. Так как W ( ) линейно упорядочено, то либо х < y, либо у < х. Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, так как х W ( ), х W ( ), то одновременно х < и х < . Если бы было у < х, то было бы у < , у < , то есть у D. Итак, доказано, что х < у для любых х D, у W ( )&bsol;D, а это и означает, что (D, W ( )&bsol;D) есть сечение в W ( ). Пусть < есть первый элемент в W ( )&bsol;D. Тогда отрезок, отсекаемый в W ( ) элементом , совпадает с D, то есть есть порядковый тип множества D, = и < .