Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (стр. 5 из 9)

Аналогично доказывается, что

.

Однако, неравенства

< и < не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы D, так что было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.

Таким образом, имеются лишь следующие возможности:

1)

= , = и, значит, = ;

2)

= , = и, значит, < ;

3)

< , = и, значит, < . ■

Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.

Доказательство.

Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A’

А имеет наименьший элемент.

Возьмём какой-нибудь элемент а’

A’. Если а’ – наименьший из чисел

х

А’, то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a’) A’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a’), содержит первый элемент а. Ординальное число а и является наименьшим элементом в A’. ■

Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В, не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество А

В, состоящее из всех элементов а

А и b

B. Превратим множество А В в упорядоченное множество А+В, введя в него порядок таким образом: если а<a’ в A или b<b’ в В, то те же отношения сохраняются в А+В; если же а

А, b

В, то положим a<b в А+В. Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если и есть порядковые типы множеств А и В, то порядковый тип множества А+В называется суммой + порядковых типов и .

Теорема 4.4. Пусть

- какое-нибудь ординальное число. Тогда

+1 есть ординальное число, непосредственно следующее за

.

Доказательство.

Пусть А – какое-нибудь вполне упорядоченное множество типа

. По определению сложения порядковых типов множество А’ типа +1 получим, если присоединим к А новый элемент а’, следующий за всеми элементами а

А. Тогда A = A’_a’, то есть < +1.

Всякое ординальное число

’< +1 является типом некоторого отрезка А_x’ множества A’. Но если х = а’, то А_x’ = A’_a’ = A и ’ = ; если же x = a < a’, то A_x’ = A_a и ’ < . ■

Теорема 4.5. Пусть А и В – вполне упорядоченные множества. Пусть

и

- их порядковые типы. Если А

В, то

.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что

< . Тогда множество В изоморфно отрезку своего подмножества А, а это противоречит предложению 1.3. ■

Теорема 4.6. Сумма любых ординальных чисел х

(данных в любом порядке) есть ординальное число

, не меньшее, чем любое из данных слагаемых х

.

Доказательство.

Пусть дано некоторое ординальное число

и каждому < поставлено в соответствие ординальное число х

. Пусть - сумма по типу всех ординальных чисел х

; обозначим её через =

.