Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (стр. 7 из 9)
Из этой леммы следует, что пространство W( 
1) не является компактным, так как
1 - предельное ординальное число. Предложение 5.4. Пространство W( 1) локально компактно.
Доказательство.
Возьмём произвольную точку
из W( 
1). Так как 
W( 1), то 
< 
1 и +1< 1 (так как 1 – предельное ординальное число). Следовательно, +1 не является предельным ординальным числом. В качестве окрестности точки возьмём открыто-замкнутое множество U( ) = { 
| < +1} = { | 
} = W( +1) – компактно (по лемме 5.3) и содержит точку . Следовательно, W( 1) локально компактно. ■5. Счётные множества в W( 1).
Определение 2.11. Множество А называется кофинальным в W(
), если оно не ограничено сверху, т. е. ( 
) ( 
). Предложение 5.5. Ни одно счётное множество в W( 1) не кофинально.
Доказательство.
Будем доказывать методом от противного и предположим, что в W(
1) существует счётное кофинальное множество S.Докажем, что W(
1) = 
: 
Очевидно, что W( ) 
W( 1) для любого 
S W( 1). 
Докажем, что W( 1) 
.Пусть
W( 1). Так как S кофинально, то существует S: 
. Следовательно, 
W( ) .Таким образом, W(
1) = .Заметим, что |W(
1)| = 
1. Тогда 1 
|S| 
0. Следовательно, |S|= 
1, чего быть не может, так как S – счётное множество. ■6. Счётная компактность.
Предложение 5.6. Любое счётное множество из W( 1) содержится в компактном подпространстве пространства W( 1).
Доказательство.
Пусть А - счётное подмножество в W(
1). По предложению 5.5 оно не является кофинальным, то есть А ограничено сверху в W( 1). Пусть = supA. Тогда 
W( 1) и А W( +1), где W( +1) на основании леммы 5.3 компактно, так как +1 не предельное ординальное число. Таким образом, нашлось компактное подпространство пространства W( 1), в котором содержится множество А. ■ Следствие 5.7. Любое счётное замкнутое множество в W( 1) компактно.