Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (стр. 9 из 9)
Определение 2.12. Пусть сХ – произвольная компактификация тихоновского пространства Х. Множество сХ\Х, то есть множество всех точек, которыми сХ отличается от Х, называется наростом компактификации сХ.
Определим упорядочение на семействе ζ(Х) всех компактификаций пространства Х.
Определение 2.13. Пусть с1Х и с2Х – компактификации пространства Х. Положим с2Х
с1Х, если существует непрерывное отображение f: с1Х 
с2Х такое, что f (х) = х для всех х 
с1Х. Известно, что каждое некомпактное локально компактное хаусдорфово пространство Х обладает компактификацией 
Х с одноточечным наростом. Эта компактификация является наименьшим элементом семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х по отношению к упорядочению
и называется одноточечной компактификацией (александровской компактификацией) ([3]). Отсюда следует, что пространство W( 
1) 
{ 1} является александровской компактификацией пространства W( 1).Определение 2.14. Пусть Х. - произвольное тихоновское пространство. Наибольший элемент семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х называется стоун-чеховской компактификацией (или стоун-чеховским расширением) пространства Х.
Предложение 5.12. Пространство W( 1) имеет единственное компактное хаусдорфово расширение (а именно W( 1) { 1}).
Доказательство.
Докажем, что W(
1) { 1} является стоун-чеховской компактификацией пространства W( 1). Известно, что если каждое непрерывное отображение тихоновского пространства Х в компактное хаусдорфово пространство можно непрерывно продолжить на некоторую компактификацию 
Х пространства Х, то 
Х является стоун-чеховской компактификацией пространства Х ([3]). Таким образом, достаточно доказать, что любая непрерывная функция, определённая на W( 
1), продолжается по непрерывности на W( 1) { 1}.Каждая непрерывная вещественная функция, определённая на W(
1), финально постоянна, то есть для некоторого а W( 1) и всех х, у > a имеем f (x) = f (y) (по предложению 5.10). Следовательно, если f продолжить на пространство W( 1) 
{ 1}, являющееся одноточечной компактификацией пространства W( 1), положив 
( 1) = f (х), где х >a, 
|W( 1) = f , то мы получим непрерывную функцию на W( 1) { 1}. Значит, W( 1) { 1} – расширение Стоуна-Чеха пространства W( 1). ■СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чиркова Н. В. Выпускная квалификационная работа «Линейно упорядоченные пространства», научный руководитель Варанкина В. И., Киров, 2002.
2. Александров П. С. «Введение в теорию множеств и общую топологию». М.: Наука, 1977.
3. Энгелькинг Р. «Общая топология». М.: Мир, 1986.
4. Келли Дж. Л. «Общая топология». М.: Наука, 1981.
5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа». М.: Наука, 1968.
6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов». М.: Физматлит, 1995.
7. Р. Столл «Множества. Логика. Аксиоматические теории». М.: Просвещение, 1968.
8. Ч. Коснёвски «Начальный курс алгебраической топологии». М.: Мир, 1983.