Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (стр. 2 из 3)
Похідна за напрямом
є швидкістю зміни функції 
за напрямом 
в точці 
.Якщо в прямокутній системі координат
, то
.(7)Зокрема, якщо вектор
збігається з одним із ортів 
або 
, то похідна за напрямком збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо 
, то 
.Аналогічно визначається похідна за напрямом векторного поля.
Означення. Вектор
називається похідною векторного поля 
(вектор-функції ) в точці за напрямом і позначається символом 
.Якщо в прямокутній системі координат
, то 
.4. Градієнт скалярного поля
скалярне векторне поле дивергенція
Означення. Градієнтом скалярного поля
називається вектор-функція 
.Із рівності (7) випливає, що
,(8)Звідси
, оскільки 
.Тут
– кут між векторами і 
в точці . Очевидно, що 
має найбільше значення при 
, тобто у напрямі в даній точці. Інакше кажучи, вектор в даній точці вказує напрям найбільшого зростання поля 
(функції ) у цій точці, а 
є швидкість зростання функції в цьому напрямі. Таким чином, вектор не залежить від вибору системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією .5. Потенціальне поле
Означення. Векторне поле
називається потенціальним в області 
, якщо воно збігається в області з полем градієнта деякого скалярного поля : 
.(9)Функція
називається скалярним потенціалом векторного поля . Якщо 
, то із рівності (9) випливає, що
.Інколи потенціалом векторного поля
називають таку функцію , що 
.Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси
, розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією 
( 
– гравітаційна стала, 
). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці 
. Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції 
, яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси . Дійсно 
.Аналогічно
, звідси 
.Далі, розглянемо ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду
, розміщеного на початку координат. Воно описується в точці 
вектором напруженості
.Це поле також є потенціальним полем. Його можна подати у вигляді
. Функція 
називається потенціалом електричного поля точкового заряду .Поверхні рівня потенціала
називаються еквіпотенціальними поверхнями.6. Дивергенція
Означення. Дивергенцією векторного поля
називається скалярна функція 
.Слово «дивергенція» означає «розбіжність».
Дивергенція характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці.
Розглянемо, наприклад, електричне поле точкового заряду
, розміщеного в початку координат: 
, 
.Оскільки
, і аналогічно 
, то 
(при
). Цей результат означає відсутність поля у довільній точці, крім початку координат. В початку координат 
.7. Ротор
Означення. Ротором (або вихором) векторного поля
називається вектор-функція
.Зокрема, для плоского поля
маємо