Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (стр. 3 из 3)

.

Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо осі

із сталою кутовою швидкістю (рис. 1).

Рисунок 1 – Тверде тіло, яке обертається навколо осі

Векторне поле швидкостей

точок цього тіла можна подати у вигляді

.

Знайдемо ротор поля швидкостей

:

.

Таким чином,

є сталим вектором, напрямленим уздовж осі обертання , а його модуль дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання тіла:

.

Розглянемо потенціальне поле

. Його потенціал . Обчислимо ротор цього поля:

.

Взагалі, ротор довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть, що потенціальне поле є безвихровим.

8. Соленоїдальне поле

Векторне поле

називається соленоїдальним в області , якщо в цій області . Оскільки характеризує густину джерел поля , то в тій області, де поле соленоїдальне, немає джерел цього поля.

Наприклад, електричне поле

точкового заряду соленоїдальне (задовольняє умову ) всюди поза точкою, де знаходиться заряд (в цій точці ). Векторні лінії соленоїдального поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області, або бути замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими векторними лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.

Якщо векторне поле

можна подати як ротор деякого векторного поля , тобто , то вектор – функція називається векторним потенціалом поля .

Можна перевірити (див. докладніше п. 2), що

, тобто поле є соленоїдальним.

Довільне векторне поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.

9. Оператор Гамільтона

Згадаємо, що символ

називається оператором частинної похідної по . Під добутком цього оператора на функцію розумітимемо частинну похідну , тобто . Аналогічно, і – оператори частинних похідних по і по .

Введемо векторний оператор «набла» або оператор Гамільтона:

.

За допомогою цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати операції векторного аналізу.

У результаті множення вектора

на скалярну функцію отримуємо :

.

Скалярний добуток вектора

на вектор – функцію дає :

.

Векторний добуток вектора

на вектор – функцію дає :

.

10. Нестаціонарні поля

Нехай в області

визначено нестаціонарне скалярне поле : величина є функцією точки і часу . Приклад такого поля – змінний з часом розподіл температури в будь-якому середовищі (наприклад, в потоці рідини). Розглянемо точку , яка рухається в області (частинку рідини). Координати точки (частинки) змінюються з часом за відомим законом . Величина в рухомій точці є складеною функцією :

.

Обчислимо похідну по

цієї функції (вона називається повною похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо

.

Вводячи в точці

вектор швидкості , отримуємо

Або

.(11)

Аналогічно, якщо в області

задано нестаціонарне векторне поле , то для рухомої точки векторна величина є складеною функцією : . Повну похідну по для кожної координати вектор – функції можна обчислити за формулою (11). Помноживши результати на базисні вектори і складаючи, отримуємо

.(12)

У формулах (11) і (12) доданки

і виражають швидкості зміни величин та з часом при фіксованих координатах, тобто характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними похідними. Доданки і утворюються за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у виразах повних похідних називаються конвективними похідними.

Локальні похідні характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору. Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.