Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (стр. 1 из 3)
Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
1. Скалярне поле
Нехай
– область у тривимірному просторі (або на площині). Кажуть, що в області задано скалярне поле, якщо кожній точці 
поставлено у відповідність деяке число 
.Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.
Поверхня (лінія), на якій функція
набуває одне й те саме значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або лінії постійної температури). Надаючи різних постійних значень: 
, отримаємо сім’ю поверхонь (ліній) рівня даного скалярного поля.Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина
є функцією лише точки 
і, можливо, часу (нестаціонарні поля).Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат
, то точка у цій системі координат матиме певні координати 
і скалярне поле стане функцією цих координат: 
.2. Векторне поле
Кажуть, що в області
задано векторне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деякий вектор 
.Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості
; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції 
; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння 
, що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості 
.Зручною геометричною характеристикою векторногополя
є векторні лінії – криві, в кожній точці яких вектор напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.Нехай векторна лінія, яка проходить через точку
, описується рівнянням 
, де 
– параметр. Умова колінеарності вектора поля 
і дотичного вектора 
в довільній точці цієї лінії має вигляд 
,(1)де
– деяке число. Умову (1) можна записати також у вигляді 
(2)або, помноживши на
, у вигляді 
.(3)Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку
, визначається додатковою умовою
,(4)де
– радіус-вектор точки .Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці
вектор повністю визначається своїм модулем 
і напрямом. Якщо в просторі введена прямокутна система координат , то векторне поле описується вектор-функцією трьох змінних 
або трьома скалярними функціями – її координатами: 
.Оскільки в прямокутних координатах
, то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне системі диференціальних рівнянь 
,(5)а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:
,(6)де
– координати точки .3. Похідна за напрямом
Скалярне і векторне поля
і 
Називаються диференційованими
разів, якщо функції 
диференційовані
разів. Надалі розглядатимемо поля, диференційовані потрібне нам число разів.Нехай
– скалярне поле, задане в області , 
– одиничний фіксований вектор; – фіксована точка; 
– довільна точка із , відмінна від і така, що вектор 
колінеарний . Нехай, далі, 
– величина напрямленого відрізка (вона дорівнює його довжині 
, якщо напрям вектора збігається з напрямом вектора , і дорівнює – 
, якщо вектори і є протилежними).Означення. Число
називається похідною скалярного поля (функції ) в точці за напрямом і позначається символом 
.