
.
З іншого боку, так як на проміжку

функція

інтегровна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому

і сума

стане меншою за

. Звідси слідує (4), що і потрібно було довести.
У загальному випадку, коли функція

абсолютно інтегровна на проміжку
, ми розглянемо функції

,
очевидно, невід’ємні і інтегровні на даному проміжку. Так як

,
то питання зводиться до вже розглянутого випадку.
ЗАУВАЖЕННЯ. Нехай функція

неперервна на проміжку

і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну

, причому ця похідна інтегровна (у власному чи невласному змісті) від

до

; тоді, як відомо, має місце формула (7):

.
Якщо

абсолютно інтегровна, то до функції

повністю справедливо все викладене в п. 3.[1;3]
З визначення інтегралу Стілтьєса безпосередньо випливають такі його властивості:
1.

;
2.

;
3.

;
4.

.
При цьому у випадках 2, 3, 4 з існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла у лівій частині. Далі маємо
5.

,
у припущенні, що

і існують всі три інтеграли.
Для доведення цієї формули достатньо включити точку с в число точок розбиття проміжку

, при складанні суми Стілтьєса для інтегралу

.
Перш за все, з існування інтеграла

уже випливає існування обох інтегралів

і

.
Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого для стілтьєсової суми отримується інтеграл Стілтьєса, має місце принцип збіжності Больцано-Коші. Таким чином по заданому

враховуючи існування інтеграла

знайдеться таке

, що будь-які дві суми

і

, яким відповідають

і

, різняться менш ніж на

. Якщо при цьому у склад точок розбиття включити точку с, а точки розбиття, що припадають на проміжок

, брати в обох випадках одними й тими самими, то різниця

зведеться до різниці

двох сум Стілтьєса, що належать вже проміжку

, бо решта доданків взаємно скорочуються. Застосовуючи до проміжку

і обрахованим для нього стілтьєсовим сумам той же принцип збіжності, зробимо висновок про існування інтеграла

. Аналогічним чином встановлюється і існування інтегралу

. Але, важливо відмітити, що з існування обох інтегралів

і

, взагалі кажучи, не випливає існування інтегралу

. Щоб упевнитися в цьому, достатньо розглянути приклад. Нехай на проміжку

функції

і

задані наступними рівностями:

Легко побачити, що інтеграли

обидва існують і рівні 0, бо відповідні суми Стілтьєса всі рівні 0: для першого це випливає з того, що завжди

=0, для другого – з постійності функції

, завдяки чому

=0.
У той же час інтеграл

не існує. Дійсно, розіб’ємо проміжок

так, щоб точка 0 не потрапила у склад точок розбиття, і складемо суму:

.
Якщо точка 0 потрапляє в проміжок

, так, що

, то в сумі

залишиться лише один

-й доданок; решта будуть нулі, тому що

для

. Отже,

.
В залежності від того, чи буде

або

, виявиться

або

, так що

границі не має
Вказана своєрідна умова пов’язана з наявністю розривів у точці

для обох функцій

і

. [8]
§4. Інтегрування за частинами
Для інтегралів Стілтьєса має місце формула

–

(8)