Інтегрування у XIX сторіччі в основному пов’язано з теорією тригонометричних рядів. Інтеграл Стілтьєса виник в зовсім новій, нетрадиційній області, а саме в теорії ланцюгових дробів, залишаючись в межах цієї теорії він був частиною мало помітною, специфічним узагальненням інтеграла Рімана. Таким він був близько 15 років. Ф. Пісс в 1910 р. надрукував замітку, змістом якої була формула, яка виражала інтеграл Стілтьєса від неперервної функції f(x) через інтеграл Лебега від деякої сумовної функції другого аргументу.

Лебег пропонує на основі даного ним представлення інтеграла Стілтьєса визначити інтеграл Стілтьєса від розривної функції. У 1914р. Юнг показав, що метод монотонних послідовностей, застосований до інтеграла Стілтьєса, досить просто призводить до того ж узагальнення.

У зв’язку з переходом в простір більшого числа змінних до кінця сформулювалась точка зору на інтеграл, як на функцію множини. Така точка зору стала особливо родючою для теорії і дозволила серед множини визначень виділити таке поняття диференціювання, в термінах якого ця теорія набуває єдиної форми, незалежно від кількості змінних.

Дана тема представлена в інтегральному численні і вивчається як додатковий розділ курсу математичного аналізу.

Метою роботи є вивчення умов існування, властивостей, методів обчислення інтеграла Стілтьєса. Відповідно до мети поставлені наступні завдання:

1. Ввести означення інтегралу Стілтьєса.

2. Визначити умови його існування та класи інтегрованих за Стілтьєсом функцій.

3. Вивчити процес зведення інтегралу Стілтьєса до інтегралу Рімана.

4. Розглянути приклади обчислення та граничний перехід під знаком інтегралу Стілтьєса

§1. Визначення інтегралу Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (Th.J. Stieltjes[1]) - є безпосереднім узагальненням звичайного інтегралу Рімана. Визначається він наступним чином:

Нехай на проміжку [a,b] задані дві обмежені функції f(x) і g(x). Розкладемо точками

(1)

проміжок [a,b] на частини і покладемо

. Обравши у кожній з частин [

] (i=0,1,…,n-1) за точкою

обрахуємо значення
функції f(x) і помножимо його на відповідний проміжку [

] приріст функції g(x)

Нарешті, складемо суму всіх таких добутків:

(2)

Ця сума має назву суми Стілтьєса.

Скінченна границя суми Стілтьєса

, коли

прямує до нуля називається інтегралом Стілтьєса функції f(x) no функції g(x) и позначається символом

(3)

Іноді, коли необхідно підкреслити, що інтеграл розглядається у сенсі Стілтьєса, вживають позначення

(S)

або

Границя тут розуміється в тому ж сенсі, що і у випадку зі звичайним визначеним інтегралом. Точніше кажучи, число Iназивається інтегралом Стілтьєса, якщо для будь-якого числа

> 0 існує таке число

>0, що як тільки проміжок [a,b] розбитий на частини так, що

, одразу ж виконується нерівність

, яким би чином не обиралися точки

у відповідних проміжках.

При існуванні інтеграла (3) також говорять, що функція

на проміжку
інтегровна по функції
. Очевидно, що єдина відміна даного визначення від звичайного визначення інтегралу Рімана полягає в тому, що

множиться не на приріст

незалежної змінної, а на приріст

другої функції. Таким чином, інтеграл Рімана є частковим випадком інтегралу Стілтьєса, коли в якості функції

взято саму незалежну змінну

[1;8]

§2. Існування інтегралу Стілтьєса

2.1 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса

Встановимо загальні умови існування інтегралу Стілтьєса, обмежуючись припущенням, що функція

монотонно зростає.

Звідси слідує, що при

тепер всі

, подібно тому, як раніше було

. Це дозволяє послідовно замінюючи лише

на

повторити всі побудови.

Аналогічно до сум Дарбу, і тут доцільно ввести суми

де

і M_iозначають, відповідно, нижню і верхню точні межі функції

- тому проміжку

. Ці суми будемо називати нижньою і верхньою сумами Дарбу-Стілтьєса. Перш за все, ясно, що (при одному й тому самому розбитті)

,причому

служать точними межами для стілтьєсових сум

. Самі ж суми Дарбу-Стілтьєса мають дві наступні властивості:

Інтеграл Стілтьєса (стр. 1 из 7)

імені В.Г.Короленка

Курсова робота з математики

канд. фіз.-мат. наук, доцент

Полтава-2008

2.1 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса