.
Отже, дістали невизначеність . Тому
.
5. Маємо невизначеність . Запишемо добуток
так: . Дістали невизначеність . Тому
Під знаком границі в правій частині останньої рівності знову маємо випадок, коли чисельник і знаменник прямують до , тобто маємо ту саму невизначеність . Застосувавши раз друге правило Лопіталя, дістаємо
6. Маємо невизначеність . Тоді
Знайдемо границю показника:
тому
7.Маємо невизначеність виду . Запишемо даний вираз:
. Дістали невизначеність .
Отже,
.
8. Маємо невизначеність виду . Запишемо даний вираз:
.
Знайдемо границю показника:
.
Отже,
6.14. Формула Тейлора
6.14.1. Формула Тейлора для многочлена
Нехай задано многочлен
де - довільні дійсні числа, які називаються коефіцієнтами многочлена.
Виразимо коефіцієнти даного многочлена через значення многочлена та його похідні.
З цією метою будемо послідовно диференціювати многочлен. Матимемо
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Підставляючи в ці рівності , дістаємо
. . . . . . . . . .
Тоді многочлен набуде вигляду
(6.76)
Може трапитися, що многочлен буде записаний за степенями різниці , де - довільне дійсне число:
- дійсні числа. Тоді многочлен можна записати так:
(6.77)
Формулу (6.77) називають формулою Тейлора для многочлена.
6.14.2. Формула Тейлора для довільної функції
Візьмемо довільну функцію , яка в околі деякої точки і в самій точці має похідні до -го порядку включно.
Тоді для такої функції можна побудувати многочлен
(6.78)
Цей многочлен називається многочленом Тейлора для функції
Розглянемо таку різницю:
Оскільки залежить від то й залежить від
Тоді
або
(6.79)
Формула (6.79) називається формулою Тейлора для функції а функція - залишковим членом формули Тейлора.
Отже, формула Тейлора (6.79) відрізняється від формули Тейлора (6.77) для многочлена тим, що вона містить залишковий член Виразимо через похідну -го порядку від функції
Теорема. Якщо в деякому околі, наприклад, на відрізку точки має неперервні похідні до -го порядку включно, то залишковий член у формулі Тейлора можна записати у вигляді
(6.80)
де
Формула (6.79) записується тепер у вигляді
(6.81)
і справедлива для будь-якого
Формула (6.81) називається формулою Тейлора із залишковим членом виду Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то матимемо так звану формулу Маклорена
(6.82)
Враховуючи вирази для диференціалів різних порядків функції можна записати формулу (6.81) в диференціальній формі:
(6.83)
6.14.3. Формула Тейлора для функції двох змінних
Нехай функція має в околі точки неперервні частинні похідні до -го порядку включно. Формулу Тейлора зручно записати в диференціальній формі:
(6.84)
де
Аналогічний вигляд має формула Тейлора для функції більшого числа змінних.