Пошукова робота на тему:
Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних.
План
6.12. Основні теореми диференціального числення
У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.
6.12. 1. Теорема Ролля
Теорема. Нехай функція задовольняє умовам:
1) визначена і неперервна на відрізку :
2) диференційована в інтервалі ;
3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .
Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .
Д о в е д е н н я.
Випадок 1. Функція на відрізку є сталою:
.
Тоді , тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.
Випадок 2. Функція не є тотожною сталою на відрізку . Оскільки за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через , а найменше – через . Зрозуміло, що в розглянутому випадку .
Через те, що , то хоча б одне з чисел або досягається функцією всередині інтервалу . Нехай, наприклад, число досягається функцією всередині інтервалу , тобто існує хоча б одна точка, позначимо її , в якій
.
Покажемо, що .
Справді, оскільки є найменше значення функції на відрізку , то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх з деякого досить малого околу точки . Позначимо цей окіл через .
Тоді для всіх справджуватимуться нерівності
при ,
при .
Розглянемо відношення , для якого справедливі нерівності
при ,
при ,
причому .
Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли . Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній , тому
, .
Звідси випливає, що . Теорему доведено
З’ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис.6.9):
1) графік функції є суцільна лінія (- неперервна на відрізку);
2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);
3) крайні точки графіка знаходяться на однаковій висоті від .
6.12. 2. Теорема Лагранжа
Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку ; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність
. (6.73)
Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію
,
що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді, на відрізку є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу має похідну
;
.
Отже, існує точка в якій або, що саме,
звідси
Теорему доведено.
Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа. Нехай графік функції зображено на рис. 6.10. Відношення є кутовий коефіцієнт січної , а - кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою . Обидва кутові коефіцієнти однакові. Отже, дотична і січна паралельні. Тому висновок теореми Лагранжа можна сформулювати так: на дузі знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до кривої паралельна хорді .
Оскільки , то можемо записати:
.
Рис.6.19 Рис.6.10
Отже, рівність (6.73) можна записати в такому вигляді:
,
або
.
Зокрема, покладемо , одержимо рівність
.
Вираз, який стоїть у лівій частині останньої рівності, є не що інше, як приріст функції в точці . Отже, дістаємо формулу
. (6.74)
Формула (6.74) виражає точне значення приросту функції
в точці за будь-якого скінченого значення приросту аргументу і має назву формули скінчених приростів.
Наслідок 1. Якщо функція на проміжку має похідні і за будь-якого , то на даному проміжку є сталою.
Д о в е д е н н я. Візьмемо в проміжку дві довільні точки Тоді функція на відрізку задовольняє умовам теореми Лагранжа і справедливою є рівність
.
Проте при будь-якому , зокрема і при , дорівнює нулю. Тоді з попередньої нерівності випливає:, або .
Оскільки і - довільні точки проміжку і функція у цих точках набуває однакових значень, то є сталою.
Тепер ми можемо сформулювати такий критерій сталості диференційованої функції на заданому проміжку: для того, щоб диференційована на проміжку функція була сталою, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці цього проміжку дорівнювала нулю.
Наслідок 2. Якщо функції і на проміжку мають похідні , і за будь-якого , то різниця між цими функціями є величина стала.
Д о в е д е н н я. Позначимо різницю через : .
Тоді функція на проміжку має похідну :
.
Проте , тому . Звідси випливає, що або, що те саме, .
6.12.3. Теорема Коші
Теорема. Нехай: 1) функції і задані і неперервні на відрізку ; 2) диференційовані в інтервалі ; 3) похідна всередині інтервалу не дорівнює нулю. Тоді всередині інтегралу знайдеться така точка , що має місце рівність
. (6.75)
6.13. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя
Розглянемо невизначеність виду .
Теорема 1. Нехай для функцій і виконуються умови:
1) функції визначені на півінтервалі і
;
2) в інтервалі диференційовані, причому для всіх ;
3) існує (скінчена або нескінченна ) границя
.
Тоді існує границя відношення при і ця границя дорівнює теж числу , тобто
.
Висновок цієї теореми читають ще так: границя відношення функції дорівнює границі відношення похідних від цих функцій.
Наведену теорему називають першим правилом Лопіталя.
Зауваження 1. Може статися, що поряд з рівностями виконуються рівності
Нехай
тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:
Взагалі цей спосіб можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення яке має при певну границю. Тоді
У цьому випадку кажуть, що правило Лопіталя використовується разів.
Зауваження 2. Теорема 1 при виконанні її умов справджується і тоді, коли точка є невласною, тобто . У цьому випадку
Справді, застосувавши підстановку , маємо
Сформулюємо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття невизначеності виду
Теорема 2. Нехай для функцій і виконуються умови:
1) функції визначені на півінтервалі і при цьому
2) функції диференційовані в інтервалі причому
3) існує ( скінчена або нескінченна) границя
Тоді
.
Зауваження 3. Крім невизначеностей є ще й інші невизначеності: Проте всі вони зводяться до невизначеності або
Справді, нехай, наприклад, маємо невизначеність Інакше кажучи, нехай маємо функції і такі, що Тоді добуток можна зобразити у вигляді частки:
Отже, у правій частині ми маємо невизначеність виду
Якщо маємо невизначеність , тобто і то різницю можна записати:
отже, в правій частині маємо невизначеність виду
Якщо маємо степінь і тобто невизначеність виду , то її розкривають так.
Припускаючи, що , вираз має вигляд
У показнику при маємо невизначеність виду , яка (це було показано вище) зводиться до невизначеності . Аналогічно невизначеності розкриваються невизначеності , .
Приклади. Користуючись теоремами Лопіталя, знайти границі функцій:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8.
Р о з в ’ я з о к. Перевіримо виконання умов теорем Лопіталя для першого прикладу. Для прикладів пропонуємо умови теорем перевірити самостійно.
1. Нехай . Розглядатимемо пів інтервал, де - довільне число. Тоді . Знаходимо похідні за будь-якого , а потім
.
Отже, виконуються всі три умови першої теореми Лопіталя. Тому
.
2. Маємо невизначеність виду . Використавши першу теорему Лопіталя, одержимо
.
3. Маємо невизначеність виду , тому використовуємо другу теорему Лопіталя:
.
4. Маємо невизначеність виду . Зводимо її до невизначеності . Для цього запишемо у вигляді