Классические методы безусловной оптимизации (стр. 2 из 5)

и ДКФ, которую оно представляет, будут положительно определенными, если все главные определители матрицы Гессе ( ) положительны (т.е. имеет место следующая схема знаков:

)

Если же имеет место другая схема знаков для главных определителей матрицы Гессе

, например, , то матрица и ДКФ отрицательно определены.

4. Метод Эйлера – классический метод решения задач безусловной оптимизации

Этот метод основан на необходимых и достаточных условиях, изученных в 1.1 – 1.3; применим нахождению локальных экстремумов только непрерывных дифференцируемых функций.

Алгоритм этого метода достаточно прост:

1) используя необходимые условия формируем систему

в общем случае нелинейных уравнений. Отметим, что решить аналитически эту систему в общем случае невозможно; следует применить численные методы решения систем нелинейных уравнений (НУ) (см. "ЧМ"). По этой причине метод Эйлера будет аналитически-численным методом. Решая указанную систему уравнений находим координаты стационарной точки .;

2) исследуем ДКФ и матрицу Гессе

, которая ее представляет. С помощью критерия Сильвестра определяем, является ли стационарная точка точкой минимума или точкой максимума;

3) вычисляем значение целевой функции

в экстремальной точке

Методом Эйлера решить следующую задачу безусловной оптимизации: найти 4 стационарные точки функции вида:

Выяснить характер этих точек, являются ли они точками минимума, или Седловыми (см. [3]). Построить графическое отображение этой функции в пространстве и на плоскости (с помощью линий уровня).

Далее эту функцию будем именовать типовой функцией, исследуя ее экстремальные свойства всеми изученными методами.

5. Классическая задача условной оптимизации и методы ее решения: Метод исключения и Метод множителей Лагранжа (ММЛ)

Как известно, классическая задача условной оптимизации имеет вид:

(1)

(2)

График, поясняющий постановку задачи (1), (2) в пространстве

.

(1')

(2')

,

- уравнения линий уровня

Итак, ОДР

в рассматриваемой задаче представляет собой некоторую кривую, представленную уравнением (2').

Как видно из рисунка, точка

является точкой безусловного глобального максимума; точка - точкой условного (относительного) локального минимума; точка - точка условного (относительного) локального максимума.

Задачу (1'), (2') можно решить методом исключения (подстановки), решив уравнение (2') относительно переменной

, и подставляя найденное решение (1').

Исходная задача (1'), (2') таким образом преобразована в задачу безусловной оптимизации функции

, которую легко решить методом Эйлера.

Метод исключения (подстановки).

Пусть целевая функция зависит от

переменных:

называются зависимыми переменными (или переменными состояния); соответственно можно ввести вектор

Оставшиеся

переменных называются независимыми переменными решения.

Соответственно можно говорить о вектор-столбце:

и вектора .

В классической задаче условной оптимизации:

(1)

(2)

Система (2) в соответствии с методом исключения (подстановки) должна быть разрешена относительно зависимых переменных (переменных состояния), т.е. должны быть получены следующие выражения для зависимых переменных:

(3)

Всегда ли система уравнений (2) разрешима относительно зависимых переменных

- не всегда, это возможно лишь в случае, когда определитель , называемый якобианом, элементы которого имеют вид:

,

не равен нулю (см. соответствующую теорему в курсе МА)

Как видно, функции

, должны быть непрерывными дифференцируемыми функциями, во-вторых, элементы определителя должны быть вычислены в стационарной точке целевой функции.

Подставляем

из (3) в целевую функцию (1), имеем:

(5)

Исследуемая функция

на экстремум можно произвести методом Эйлера – методом безусловной оптимизации непрерывно дифференцируемой функции.

Итак, метод исключения (подстановки) позволяет использовать задачу классической условной оптимизации преобразовать в задачу безусловной оптимизации функции

- функции переменных при условии (4), позволяющим получить систему выражений (3).

Недостаток метода исключения: трудности, а иногда и невозможность получения системы выражений (3). Свободный от этого недостатка, но требующий выполнения условия (4)

является ММЛ.

5.2. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия в классической задаче условной оптимизации. Функция Лагранжа

ММЛ позволяет исходную задачу классической условной оптимизации:

(1)

(2)

Преобразовать в задачу безусловной оптимизации специально сконструированной функции – функции Лагранжа:

, (3)

где

, - множители Лагранжа;

.

Как видно,

представляет собой сумму, состоящую из исходной целевой функции и "взвешенной" суммы функций , - функции, представляющие их ограничения (2) исходной задачи.