Р.Т. Галусарьян. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика (стр. 11 из 15)
11.9 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=5х –2 х2, равна удвоенному квадрату абсциссы точки касания.
11.10 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у= х2/2 – 1/2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.11 Через произвольную точку кривой ху = 
2 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.12 Через произвольную точку кривой ху=2х+3 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 2 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.13 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой
, ординатой точки касания и осью абсцисс равна 2.11.14 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой
, равна удвоенной абсциссе точки касания.11.15 Через произвольную точку кривой у = 3х4 проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 3/4 абсциссы точки касания.
11.16 Через произвольную точку кривой у = х2 + 18/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 27.
11.17 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у= –3х2–1, равна утроенному квадрату абсциссы точки касания.
11.18 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1/8 – 2х2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.19 Через произвольную точку кривой ху = 8 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.20 Через произвольную точку кривой
проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую 
в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.11.21 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 8/(2 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 4.
11.22 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=хlnx+9x, равна абсциссе точки касания.
11.23 Через произвольную точку кривой
проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 4/5 абсциссы точки касания.11.24 Через произвольную точку кривой у=3х2 + 8/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 12.
11.25 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у = 3х – х2/2 равна половине квадрата абсциссы точки касания.
11.26 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой
, равна расстоянию от точки касания до начала координат.11.27 Через произвольную точку кривой ху = 12 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.28 Через произвольную точку кривой ху+4х=2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую
в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.11.29 Доказать, что площадь треугольника, образованного между касательной к кривой у = 10/(4 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 5.
11.30 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=0,5хlnx+2x, равна половине абсциссе точки касания.
Задача 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:
12.1.
12.2. 
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
12.8.
12.9.
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12.15.
12.16
12.17. 
12.18.
12.19.
12.20.
12.21.
12.22.
12.23.
12.24.
12.25.
12.26.
12.27.
12.28.
12.29.
12.30.
Задача 13. Исследовать функцию и построить график:
13.1. а)
, б) 
13.2. а)
, б) 
13.3. а)
, б) 
13.4. а)
, б) 
13.5. а)
, б) 
13.6. а)
, б) 
13.7. а)
, б) 
13.8 а)
, б) 
13.9. а)
, б) 
13.10. а)
, б) 
13.11. а)
, б) 
13.12. а)
, б) 
13.13. а)
, б) 
13.14. а)
, б) 