Р.Т. Галусарьян. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика (стр. 2 из 15)

Следует помнить, что применять формулы (1.15), (1.16) или 1-6 можно для функции

только в случае, если при .

Упражнения к § 3.1

Комбинаторика

3.1 Вычислить:

3.2 Решить уравнения и неравенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

3.3 Доказать:

1)

,

2)

3)

4)

3.4 Сколько пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из пяти цифр:0,1,2,3,4?

3.5 Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр1,2,3,4,5, если цифры в числе:

а) могут повторяться, б) не повторяются?

3.6 В ящике имеется 7 красных и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать из ящика 3 красных и 2 черных шара?

3.7 В вазе 10 красных и 6 белых гвоздик. Сколькими способами можно составить букет из 4-х гвоздик так, чтобы число красных гвоздик в букете было не меньше белых?

3.8 Из 10 различных цветков составляется букет, содержащий не менее трех цветков. Сколькими способами это можно сделать?

3.9 В 12-ти этажном доме на первом этаже в лифт садится 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они это могут сделать, если на 2-м этаже лифт не останавливается?

Бином Ньютона

3.10 Разложить по формуле бинома Ньютона:

а)

б) , в) , г) .

3.11 Решить уравнения:

1)

, 2) ,

3)

, 4)

Разложение двучлена

на множители

3.12. 1) Сократить дробь

и вычислить при х=1,

2) сократить дробь

и вычислить приa=b.

Метод математической индукции

3.13 Доказать тождества:

,

,

,

,

3.14 Доказать неравенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3.15 Доказать делимость:

1)

2)

3)

3.16 Известно, что

целое число. Доказать, что

также целое число.

3.17 Доказать, что выражение

, где простое число, делится на р (малая теорема Ферма).

Формула Тейлора

3.18 Разложить по степеням х по формуле Тейлора функции:

1)

2) .

3.19 Вычислить приближенно:

1)

с точностью 0,0001,

2)

с точностью 0,001, 3) с точностью 0,001.

§ 3.2 Комплексные числа

Введем новое недействительное число, квадрат которого равен –1. Это число обозначим символом ί и назовем мнимой единицей. Итак,

(2.1)
Тогда . (2.2)

1. Алгебраическая форма комплексного числа

Если

, то число (2.3)

называется комплексным числом, заданным в алгебраической форме. Это число имеет действительную часть

и мнимую часть

Так что ;

- число, сопряженное .

Действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются как над многочленами.

Произведение двух сопряженных чисел есть действительное число

(2.4)

Следовательно, сумму квадратов двух действительных чисел можно разложить на комплексные множители

(2.5)

Деление чисел выполняется по формуле

(2.6)

Условия равенства двух комплексных чисел

(2.7)

2. Геометрическое представление, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Прямоугольную систему координат можно использовать для геометрического представления комплексного числа.

Каждому комплексному числу

можно поставить в соответствие точку или вектор (рис.1).

Рис.1

В этом случае плоскость х0у называется комплексной плоскостью ( z ), ось 0х называется действительной осью, ось 0у называется мнимой осью. Расстояние ОА или длина вектора

называется модулем комплексного числа Угол называется аргументом комплексного числа Очевидно, каждому комплексному числу соответствует бесконечное множество аргументов.

Главное значение аргумента

Общее значение аргумента