Р.Т. Галусарьян. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика (стр. 3 из 15)
Так как
и 
,то
(2.9)Это тригонометрическая форма комплексного числа. Чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме (2.3), представить в тригонометрической форме (2.9), следует найти:
модуль по формуле
(2.10)аргумент
по формулам :если
1-ой четверти, то 
;если
2-ой четверти, то 
;если
3-ой четверти, то 
; (2.11)если
4-ой четверти, то 
,где вспомогательный острый угол
определяют по формуле
Если
то 
.Если
то 
. ( 2.12)Если
то 
.Если
то 
.С помощью формулы Эйлера
, (2.13)можно комплексное число представить в показательной форме
(2.14)Если в формуле (2.13) заменить
на - , то получим 
(2.13')Из (2.13) и (2.13') следуют следующие формулы Эйлера:
(2.15)3. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
Умножение. Модуль произведения равен произведению модулей, аргумент произведения равен сумме аргументов:
(2.16)Деление. Модуль частного равен частному модулей, аргумент частного равен разности аргументов:
(2.17)Возведение в целую степень п. Модуль возводится в степень п, аргумент умножается на п.
(2.18)Извлечение корня степени п. Извлекается арифметический корень из модуля, общее значение аргумента делится на п. Корень имеет ровно п различных значений, если
(2.19) 
Формулы (2.18) и (2.19) называются формулами Муавра.
Упражнения к § 3.2
3.20 Выполнить действия
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 
9) 
.3.21 Представить в виде суммы более простых дробей:
1)
; 2) 
; 3) 
.3.22 Решить уравнения:
1)
, 2) 
, 3) 
, 4) 
, 5) 
, 6) 
, 7) 
, 8) 
, 9) 
, 10) 
, 11) 
.3.23 Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической форме числа:
1)
, 2) 
, 3) 
, 4) 
,5)
, 6) 
, 7) 
, 8) 
,9) 5, 10) i.
3.24 Представить в показательной форме числа (указать главное значение аргумента):
2) 
;3)
4) 
;5)
6) 
7)
8) 
9) 
10)
11)
12) 
13)
14) 
3.25 Выполнить действия: 1)
2) 
,3)
, 4) 
, 5) 
,6)
, 7) 
, 8) 
9)
, 10) 
,11)
, 12) 
, 13) 
,14)
, 15) 
16) 
17) 
.