Построение полуполевых плоскостей (стр. 2 из 6)

I'

I

АF

O X

Рис. 1

Рассмотрим точки прямых и сопоставим им элементы либо пары элементов множества D.

Точки прямой OI, кроме точки I'.

Каждой точке поставим в соответствие элемент из D:

O

0

O=(0,0),

A

a

A=(a,a),

I

1.

Точки прямойOX=[0,0], кроме точкиX.

D= (d,0).

Точки прямой OY=[0], кроме точки Y.

С=(0,с).

Точки, не лежащие на прямых OI, OX, OY.

F=(f, g),

.

Точки прямой XY=[∞].

,

Y=(∞),

X=(0).

Прямые.

Таким образом, мы получили плоскость, где каждая точка и прямая имеет свои координаты (рис. 2).

(∞)

[b]

[0](m)

(b,y)

[m,k]

(0,k)

(b,0)[0,0] (0)

(0,0) [∞]

Рис. 2

Определим на множестве Dтернарную операцию T:

точка инцидентна прямой . Далее введем бинарные операции сложения и умножения следующим образом:

·

,

·

.

Определение 1.12. Непустое множество G с заданной на нем бинарной операцией * называется лупой, если выполняются аксиомы:

1) для любых

существует единственный элемент a*x=b;

2) для любых

существует единственный элемент y*a=b;

3) существует

для любого элемента e*x=x*e=x.

Определение 1.13. Непустое множество Q с заданными на нем бинарными операциями + и

является квазиполем, если:

1)

– группа;

2)

– лупа;

3)

x*(y+z)=x*y+x*z(левая дистрибутивность);

4)

0*x=0;

5) уравнение a*x=b*x+c имеет единственное решение xдля

а≠b.

Определение 1.14. Квазиполе с правой дистрибутивностью называется полуполем (или кольцом с делением).

Известен результат [1], что проективная плоскость кординатизируется полуполем тогда и только тогда, когда

– трансляционная прямая и – трансляционная точка.

1.3. Некоторые сведения о полярностях

Определение 1.15. Абсолютными элементами полярности γ являются точки, инцидентные своему образу:

, и прямые, инцидентные своему образу: .

Приведем некоторые известные факты, связанные с абсолютными точками полярностей конечных проективных плоскостей [1].

Лемма 1.1. Пусть α – полярность проективной плоскости Р. Тогда каждая абсолютная точка принадлежит единственной абсолютной прямой, одновременно, каждая абсолютная прямая содержит единственную абсолютную точку.

В качестве следствия этой леммы можно сказать, что для любой полярности конечной плоскости существуют и неабсолютные элементы.

Известен результат, что если α имеет точно n+1 абсолютную точку, то для произвольной плоскости порядка n (где n - четное) абсолютные точки коллинеарны.

Если порядок плоскости – четное число, то абсолютные прямые полярности проходят через одну точку (т. е. конкуррентны).

Пусть Р – проективная плоскость n = s², α - полярность плоскости Р, a(α) – число абсолютных точек полярности. В [1] приведена оценка значения a(α).

Теорема 1.2. Пусть α - полярность конечной проективной плоскости Р порядка n=s². Тогда n+1

a(α) s³ + 1.

Если Р – дезаргова плоскость порядка n = s², то любая полярность имеет либо n +1 абсолютную точку, либо n^3/2 + 1. В первом случае полярность может быть задана линейным преобразованием 3-мерного векторного пространства с симметрической матрицей, во втором случае – полулинейным преобразованием с матрицей специального вида. Полярности дезарговой плоскости называются ортогональной и унитарной соответственно. В случае произвольной проективной плоскости название полярности определяется количеством a(α) абсолютных точек.

Определение 1.16. Полярностьα проективной плоскости Р порядка n = s² называютортогональной, если количество абсолютных точек а(α) = n+1, иунитарной, если а(α) =n^3/2 + 1.

Лемма 1.3. Любая полярность дезарговой плоскости является либо ортогональной, либо унитарной.

Лемма 1.4. Если Р – проективная плоскость над полем характеристики 2 . Тогда множество абсолютных точек ортогональной полярности либо пусто, либо состоит из одной точки, либо абсолютные точки коллинеарны.

О полярностях с количеством абсолютных элементов

известно мало. Каждый из известных примеров– нерегулярный, что означает следующее: