Построение полуполевых плоскостей (стр. 3 из 6)
Определение 1.17. Полярность называютрегулярной, если есть целое число t такое, что количество абсолютных точек на неабсолютной прямой равно 0, 1 или t + 1.
Лемма 1.5. Все полярности конечных дезарговых плоскостей регулярны.
Нет никаких известных регулярных полярностей, которые не являются ортогональными или унитарными. Возникает предположение, что любая регулярная полярность должна быть или унитарной или ортогональной.
Известен пример, где полярность плоскости имеет n5/4+1 абсолютную точку.Это говорит о том, что плоскости, координатизирующиеся полуполем, могут допускать полярности, которые не являются ортогональными и унитарными.
2. Построение неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16
2.1. Построение
Известен метод построения плоскостей трансляций на основе расщепляемых абелевых групп.
Определение 2.1.Пусть G – группа, S – некоторое множество подгрупп группы G. S является расщеплением группы G, если:
1)
Х≠1;2)
, Х≠Y: 
;3) G= 
.
Рассмотрим аффинную плоскость, построенную следующим образом:
· точки плоскости – элементы группы G,
· прямые – смежные классы группы G по подгруппам из множества S,
· отношение инцидентности – естественное.
Достроим аффинную плоскость до проективной, назвав особыми точками множества смежных классов по одной и той же подгруппе, особой прямой – множество всех особых точек.
В качестве группы G может быть выбрано векторное пространство.
Пусть F – конечное поле, F=GF(q). Рассмотрим n-мерное пространство W над полем F и 2n-мерное пространство V=W 
W. Построим проективную плоскость на основе пространства V:
· аффинные точки – векторы
, где 
, т.е. 
, 
,· аффинные прямые – смежные классы по подгруппам
и 
, где 
,· особые точки и особые прямые вводятся, как описано выше.
Здесь
– множество матриц 
размерности n 
n над полем F, причем:1) R содержит
и 
;2) все матрицы R , кроме нулевой – невырожденные, кроме того,
.Множество
называют регулярным множеством плоскости (спрэдом).Полуполевые плоскости порядка 16 построим на основе векторного пространства V размерности 4 над полем из 4 элементов, т.е. аффинные точки – это вектора вида
, где 
, аффинные прямые – смежные классы по подгруппам: 
здесь
.Напомним, что регулярное множество Rзамкнуто по сложению. Тогда праведлива следующая лемма:
Лемма 2.1. Плоскость трансляций координатизируется полуполем тогда и только тогда, когда регулярное множество замкнуто по сложению.
Доказательство леммы 2.1. Условие левой дистрибутивности имеет вид:
. (2.1)Напомним, что в нашем случае операция умножения вводится следующим образом:
.Следовательно, (2.1) примет вид:
.В правой части равенства x можно вынести за скобку:
.Так как x – произвольный элемент пространства, то:
.Проверим теперь выполнение условия правой дистрибутивности:
. (2.2)Следовательно, (2.2) примет вид:
.В правой части равенства 
можно вынести за скобку:
.Равенство выполняется, следовательно, условие правой дистрибутивности выполняется.
Лемма 2.1 доказана.
Задача построения всех полуполевых плоскостей данного вида сводится к построению всех возможных регулярных множеств.
Так как все ненулевые матрицы невырожденные, то элементы первой строки однозначно определяются элементами второй строки матрицы:
,где
и 
- аддитивные функции двух аргументов из поля 
.Если
, то: 
, 
В нашем случае
, тогда функции f(u,v) и g(u,v) таковы: 
, 
,матрицы θ принимают вид:
.Так как регулярное множество содержит единичную матрицу, то можно найти зависимость между коэффициентами, входящими в функции
и . Нижняя строка единичной матрицы определена однозначно: u=0, v=1, следовательно: 
, 
, 
, 
.Была написана программа на языке С++, с помощью которой построено 56 полуполевых плоскостей порядка 16. Все соответствующие наборы коэффициентов
приведены в приложении 1.Для удобства дальнейшей работы с полем GF(4) его элементами будем считать 0,1,2,3, причем таблицы Кэли по сложению и умножению соответственно имеют вид:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 | 0 | 3 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| * | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 0 | 2 | 3 | 1 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 2 |
2.2. Изоморфизм полуполевых плоскостей
На следующем этапе работы было необходимо разбить множество построенных плоскостей на классы плоскостей, изоморфных между собой. Для этой цели была применена теорема, доказанная в [3].
Теорема 2.2. Пусть π – спрэд V, π' – спрэд V'. Если σ – изоморфизм плоскости трансляций π(V) на плоскость трансляций π'(V') такой, что 0σ=0, тогда σ – биективное полулинейное отображение векторного пространства V на векторное пространство V' .
Или другими словами, плоскость π изоморфна плоскости π΄
найдется полулинейное отображение 
, сохраняющее компоненты расщепления,