Построение полуполевых плоскостей (стр. 4 из 6)
.Здесь σ – автоморфизм поля GF(4), А – невырожденная матрица, (x,xθ) 
π, а
.Установление изоморфизма заключается в определении зависимости между матрицами регулярных множеств (а точнее, между функциями, определяющими вид матриц).
Возможны случаи:
I) А=Е, σ – возведение в квадрат;
II) А 
Е, σ=1;
III) А Е, σ – возведение в квадрат.
Так как мы рассматриваем полный список плоскостей, то достаточно установить наличие изоморфизмов типа I и II.
Рассмотрим случай I.
Пусть
, а 
.Известно:
.Зная, что х=
, 
, получаем: 
, 
.Таким образом, мы получили, что
, т.е. все коэффициенты, стоящие при переменных u и v, возводятся в квадрат: 
, 
.Рассмотрев первую плоскость, мы найдем изоморфную ей:
первая плоскость изоморфна второй (1 
2);Дальнейшие вычисления показывают, что: (3
3), (4 4), (5 5), (6 6), (7 11), (8 12), (9 13), (10 14), (15 15), (16 16), (17 18), (19 20), (21 22), (23 24), (25 27), (26 28), (29 43), (30 44), (31 45), (32 46), (33 47), (34 48), (35 55), (36 56), (37 50), (38 49), (39 52), (40 51), (41 53), (42 54).Итак, построив отображение типа I (А=Е, σ: 
), мы получили 31 класс плоскостей, все плоскости приведены в приложении 2. Далее мы работали с этими классами.
Рассмотрим случай II.
Для любой матрицы
существует матрица 
,здесь Аi– матрицы размерности 2 
2 над GF(4).
Рассмотрим изоморфные полуполевые плоскости.
 |
(∞)[0]
(0,y)[∞]  |
(0,0)
Рис. 3
Все точки, находящиеся на прямой [0] первой плоскости, имеют вид (0,у). Под действием изоморфного отображения они должны перейти в точки, лежащие на прямой [0] второй плоскости (так как точка (0,0) фиксируется и точка (∞)– трансляционная) (рис. 3). Следовательно,
.Таким образом, мы имеем:
, 
и 
.Из последнего равенства получим:
.Для θ = 0 имеем:
, 
.Следовательно,
, 
, 
.Т.к. регулярное множество замкнуто по сложению, то можно сделать замену:
.Таким образом, мы получаем:
.Для θ = Е имеем
, 
.Для
имеем 
.Рассмотрим подробнее получившуюся матрицу А:
.Заметим, что S – изоморфизм
: 
,это преобразование – элация с осью [0] и центром (∞). Можно сделать вывод, что достаточно рассматривать изоморфизмы вида
,где А4– любая невырожденная матрица с элементами из GF(4), 
– некоторая из R.