Построение полуполевых плоскостей (стр. 6 из 6)
Для плоскостей №1 и №17 были построены системы латинских квадратов, состоящие из 15 матриц размерности 16
16 попарно ортогональных. Все они приведены в приложениях 3 и 4 для первой и семнадцатой плоскости соответственно.Заметим, что все латинские квадраты каждой плоскости образованы перестановками строк одного из квадратов. Приведем результат, доказанный в [1].
Теорема 3.2. Конечное планарное тернарное кольцо удовлетворяет условию T(a,b,c)=a*b+c
в соответствующем полном множестве взаимно ортогональных латинских квадратов строки любого квадрата совпадают со строками любого другого квадрата.3.2. Полярности
В данном параграфе приведен алгоритм поиска полярностей для конечных полуполевых плоскостей, в частности для полуполевых плоскостей порядка 16.
Приведем результат, доказанный в [1]:
В качестве примера были построены плоскости над GF(3) с использованием программы (см. приложение). Результатом реализации алгоритма явился список из 2016 наборов матриц B и C.
Рассмотрим условия на B и C, при которых соответствующие полуполевые плоскости являются дезарговыми.
1) B*C = C*B;
2) B2 = b1E+b2B+b3C;
3) C2 = c4E+c5B+c6C;
4) BC = c1E+c2B+c3C.
При проверке всех условий оказалось, что из 2016 построенных плоскостей всего 288 являются дезарговыми. Заметим, что для плоскостей ранга 2 такой результат был бы невозможным, т.к. линейные функции в регулярном множестве могут определять только дезаргову плоскость.
Докажем это факт.