Смекни!
smekni.com

Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 10 из 20)

Теперь из

и
, ввиду
и
получаем, что
. Утверждение 1) доказано.

Докажем 2). Исследуем пересечения

и
. Заметим, что

и

где

и
. Покажем, что
. Допустим противное. Если
делит
, то в
найдется
-подгруппа
. Так как
, то

есть

-разложимая группа. Аналогично,
-разложимая группа. Отсюда и из того, что
и
есть холловы
-подгруппы в
и
получаем, что
. По доказанному выше подгруппа Фиттинга
из
и
являются
-группами. Следовательно,
. Противоречие. Тогда
есть
-группа. Это невозможно, так как
. Итак,
.

Покажем, что

. Так как
, то
. С другой стороны

Значит,

, т.е.
.

Итак,

. Обозначим
и
. Так как
, то
. Из
-разложимости
и
следует, что
и
. Тогда
. Ввиду того, что
, имеем

Значит,

и
.

Покажем, что

и
являются нормальными подгруппами группы
. Так как
и
-разложимы и
, то по 2) леммы 2.1.1 получаем
. Так как
-группа и
, то
. Значит,
, т.е.
. А значит,
. Из
следует, что
. Отсюда и из
получам, что
. Аналогично
. Отсюда подгруппа
нормализует
, а
нормализует
. Следовательно, холлова
-подгруппа
группы
нормализует подгруппы
и
. Так как
, то
нормализует
. Далее, если
, то
. Таким образом, и
нормализует
. Следовательно, силовская
-подгруппа
группы
нормализует
. Тогда
нормальна в
. Аналогично доказывается, что
.