Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 11 из 20)

Из минимальности

следует, что либо , либо . Рассматривая отдельно случаи , и , , нетрудно видеть, что . Утверждение 2) доказано.

Установим справедливость 3). Пусть

. Из -разложимости и следует, что . Тогда является холловой -подгруппой группы . Из и -разложимости следует, что . По доказанному выше (см. доказательство утверждения 1)) – -группа. Следовательно, . Итак, является силовской -подгруппой, а – холловой -подгруппой группы . Лемма доказана.

Некоторые признаки приналежности насыщенной формации ди-

-разложимых групп

2.2.1 О п р е д е л е н и е.Пусть

– непустая формация. Подгруппа

группы

называется:

1)

-субнормальной в , если либо , либо существует максимальная цепь подгрупп такая, что для всех (обозначается );

2)

-достижимой в , если существует цепь подгрупп такая, что либо подгруппа субнормальна в , либо для любого (oбозначается ).

Нам потребуются известные свойства

-достижимых и -субнормальных подгрупп, которые собраны в следующих леммах.

2.2.2 Л е м м а.Пусть

– непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если

– подгруппа группы и , то ;

2) если

, – подгруппа из , то (сответственно

3) если

и -субнормальны ( -достижимы) в , то -субнормальна (соответственно -достижима) в ;

4) если все композиционные факторы группы

принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;

5) если

, то (соответственно ) для любого .

2.2.3 Л е м м а.Пусть

– непустая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если

и , то (соответственно