Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 13 из 20)

По 3) теореме 2.1.2, не теряя общности рассуждений, можно считать, что

– силовская -подгруппа, а – холлова -подгруппа группы . Ясно, что . Пусть – произвольная собственная подгруппа группы . По теореме Холла , где – силовская -подгруппа, а – холлова -подгруппа группы . Заметим, что , а для некоторых элементов . Следовательно, динильпотентна с нильпотентными факторами и . Далее из и следует по 3) леммы 2.2.3, что и . Из и насыщенности вытекает, что и . Тогда по 2) леммы 2.2.2 и . Следовательно, ввиду выбора получаем, что . Итак, – минимальная не -группа. Покажем, что бипримарна. Так как все дополнения к в сопряжены, то можно считать, что . Тогда из и следует, что . Значит,

. Следовательно, является -группой. Покажем, что – -группа, где – некоторое простое число, отличное от . Предположим, что и . Тогда найдутся подгруппы и в такие, что и , где – силовская -подгруппа, а – холлова -подгруппа из . Рассмотрим подгруппы , . Так как , то , . Так как по условию формация насыщена, то она является локальной. Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации , который существует и единственен. Ввиду и получаем . Следовательно, – -группа, . Из и получаем, что , . Значит, – наследственная формация. Поэтому , . Заметим, что . Аналогично, . Но тогда . Из и следует, что . Получили противоречие с выбором .

Итак,

– примарная группа, а значит, бипримарна. По 3) теоремы 2.2.4 дисперсивна. Следовательно, – максимальная подгруппа группы . Так как , то . Это означает, что – -абнормальная максимальная подгруппа группы . Ясно, что подгруппа ненормальна в . Получили противоречие с . Итак, наше допущение неверно. Теорема доказана.