Рассмотрим второй случай. Пусть
– силовская -группа, а – холлова -группа. В этом случае и причем Получили противоречие. Следовательно, и – нильпотентная -группа. Снова получили противоречие. Так как любая -субнормальная подгруппа является -достижимой, то утверждение 2) следует из утверждения 1). Теорема доказана.Для доказательства основных результатов нам потребуются некоторые факты, получены в работе Васильевой Т.И. [34].
В каждой разрешимой группе
-полупроекторы сопряжены и совпадают с -проекторами. Однако, в -разрешимых группах указанное утверждение не всегда имеет место. Введение -класса Шунка (т.е. класса Шунка, для которого из условия , всегда следует ) дало возможность доказать сопряженность -полупроекторов в -разрешимых группах.3.1.1 Л е м м а.Пусть – -класс Шунка; – нормальная -подгруппа группы ; – -полупроектор Тогда является -полупроектором группы .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду того, что
и имеем Тогда по определению -класса ШункаПредположим, что
и , где – произвольная нормальная в подгруппа. ТогдаИз определения
-полупроектора получаемЛемма доказана.
3.1.2 Л е м м а.Пусть – -класс Шунка; – нильпотентная нормальная подгруппа -разрешимой группы и Тогда:
1) существует такая максимальная
-подгруппа группы что2) любые две такие максимальные
-подгруппы и группы что сопряжены с помощью элемента изД о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду насыщенности
можно считать, что не содержится в . Поэтому, где есть добавление к в . Следовательно, имеем . Тогдатак как
, поэтому . Выбрав в максимальную -подгруппу , содержащую , получаем 1).Докажем 2) индукцией по
. Предположим, что – группа наименьшего порядка, в в которой существуют такие максимальные -подгруппы и , что , но и не сопряжены с помощью элемента из . Тогда не принадлежит и найдется примитивная фактор-группа , не принадлежащая , при этом не содержится в и .