Смекни!
smekni.com

Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 15 из 20)

Рассмотрим второй случай. Пусть

– силовская
-группа, а
– холлова
-группа. В этом случае
и
причем
Получили противоречие. Следовательно,
и
– нильпотентная
-группа. Снова получили противоречие. Так как любая
-субнормальная подгруппа является
-достижимой, то утверждение 2) следует из утверждения 1). Теорема доказана.

Факторизуемые подгруппы ди-
-разложимых групп

-классы Шунка и их проекторы

Для доказательства основных результатов нам потребуются некоторые факты, получены в работе Васильевой Т.И. [34].

В каждой разрешимой группе

-полупроекторы сопряжены и совпадают с
-проекторами. Однако, в
-разрешимых группах указанное утверждение не всегда имеет место. Введение
-класса Шунка
(т.е. класса Шунка, для которого из условия
, всегда следует
) дало возможность доказать сопряженность
-полупроекторов в
-разрешимых группах.

3.1.1 Л е м м а.Пусть

-класс Шунка;
– нормальная
-подгруппа группы
;
-полупроектор
Тогда
является
-полупроектором группы
.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду того, что

и
имеем
Тогда по определению
-класса Шунка

Предположим, что

и
, где
– произвольная нормальная в
подгруппа. Тогда

Из определения

-полупроектора получаем

Лемма доказана.

3.1.2 Л е м м а.Пусть

-класс Шунка;
– нильпотентная нормальная подгруппа
-разрешимой группы
и
Тогда:

1) существует такая максимальная

-подгруппа
группы
что

2) любые две такие максимальные

-подгруппы
и
группы
что
сопряжены с помощью элемента из

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду насыщенности

можно считать, что
не содержится в
. Поэтому,
где
есть добавление к
в
. Следовательно, имеем
. Тогда

так как

, поэтому
. Выбрав в
максимальную
-подгруппу
, содержащую
, получаем 1).

Докажем 2) индукцией по

. Предположим, что
– группа наименьшего порядка, в в которой существуют такие максимальные
-подгруппы
и
, что
, но
и
не сопряжены с помощью элемента из
. Тогда
не принадлежит
и найдется примитивная фактор-группа
, не принадлежащая
, при этом
не содержится в
и
.