Из примитивности
следует существование максимальной подгруппы с ядром 1. Поскольку максимальна в и , имеем . Поэтомуи
Отсюда и из максимальности
в получаем, что – минимальная нормальная подгруппа группы .Если
– -группа, то лемма 3.1.1 дает противоречие . Значит, – абелева -группа, . Тогда и и – максимальные подгруппы в с единичными ядрами, . Тогда имеемгде
. Так как , то найдутся такие , что .Тогда
Откуда .Рассмотрим
. Подгруппа нильпотентна и нормальна в и – максимальные -подгруппы в и . По индукции найдется такой элемент , что . Лемма доказана.3.1.3 Л е м м а.Пусть – -класс Шунка; – -разрешимая группа; – нильпотентная нормальная подгруппа в ; – -полупроектор и –такая максимальная -подгруппа группы , что . Тогда – -полупроектор группы .
3.1.4 Л е м м а.Пусть – -класс Шунка; – -разрешимая группа; – такой нормальный ряд группы , что – – группа или нильпотентная группа, . Подгруппа группы является -полупроектором тогда и только тогда, когда – максимальная -подгруппа группы .
3.1.5 Т е о р е м а. Пусть – -класс Шунка; – -полупроектор -разрешимой группы . Тогда будет -полупроектором и в любой содержащей его подгруппе .
3.1.6 С л е д с т в и е.Для -класса Шунка в любой -разрешимой группе понятия -полупроектора и -проектора совпадают.
Следующие две теоремы несут информацию о сопряженности и строении
-проекторов.3.1.7 Т е о р е м а.Пусть – -класс Шунка; – -разрешимая группа; и – -проекторы группы ; – -группа или нильпотентная группа. Тогда и сопряжены с помощью элемента из