Смекни!
smekni.com

Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 16 из 20)

Из примитивности

следует существование максимальной подгруппы
с ядром 1. Поскольку

максимальна в
и
, имеем
. Поэтому

и

Отсюда и из максимальности

в
получаем, что
– минимальная нормальная подгруппа группы
.

Если

-группа, то лемма 3.1.1 дает противоречие
. Значит,
– абелева
-группа,
. Тогда и
и
– максимальные подгруппы в
с единичными ядрами,
. Тогда имеем

где

. Так как
, то найдутся такие
, что
.

Тогда

Откуда
.

Рассмотрим

. Подгруппа
нильпотентна и нормальна в
и
– максимальные
-подгруппы в
и
. По индукции найдется такой элемент
, что
. Лемма доказана.

3.1.3 Л е м м а.Пусть

-класс Шунка;
-разрешимая группа;
– нильпотентная нормальная подгруппа в
;
-полупроектор
и
–такая максимальная
-подгруппа группы
, что
. Тогда
-полупроектор группы
.

3.1.4 Л е м м а.Пусть

-класс Шунка;
-разрешимая группа;
– такой нормальный ряд группы
, что
– группа или нильпотентная группа,
. Подгруппа
группы
является
-полупроектором тогда и только тогда, когда
– максимальная
-подгруппа группы
.

3.1.5 Т е о р е м а. Пусть

-класс Шунка;
-полупроектор
-разрешимой группы
. Тогда
будет
-полупроектором и в любой содержащей его подгруппе
.

3.1.6 С л е д с т в и е.Для

-класса Шунка
в любой
-разрешимой группе понятия
-полупроектора и
-проектора совпадают.

Следующие две теоремы несут информацию о сопряженности и строении

-проекторов.

3.1.7 Т е о р е м а.Пусть

-класс Шунка;
-разрешимая группа;
и
-проекторы группы
;
-группа или нильпотентная группа. Тогда
и
сопряжены с помощью элемента из