Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 17 из 20)

3.1.8 Т е о р е м а.Для

-класса Шунка

в каждой

-разрешимой группе любой

-проектор содержит некоторую

-холловскую подгруппу группы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

– -разрешимая группа наименьшего порядка, для которой теорема неверна. Тогда в ней существует -проектор , который не содержит ни одной -холловской подгруппы группы . Выберем в минимальную нормальную подгруппу . По индукции -проектор содержит некоторую -холловскую подгруппу группы . Тогда -холловская подгруппа группы содержится в . Если – -группа, то и, используя лемму 1, получаем . Противоречие. Поэтому – абелева -группа для некоторого . Тогда для , что противоречит выбору Теорема доказана.

Следующая теорема указывает на существование и сопряженность подгрупп, являющихся обобщением подгрупп Картера в

-разрешимой группе.

3.1.9 Т е о р е м а.Любая

-разрешимая группа

обладает по крайней мере одной

-картеровой подгруппой и любые две из них сопряжены в

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

– класс -нильпотентных групп. Так как является насыщенной формацией и из условия всегда следует, что , то есть -класс Шунка.

Пусть

– -проектор группы . Тогда -нильпотентна и по теореме 3 содержит некоторую -холловскую подгруппу группы . Для можно выбрать такую подгруппу , содержащую , что – нильпотентная группа. Тогда . Так как является -проектором , то . Но тогда . Противоречие. Следовательно, . Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь

– -картерова подгруппа группы . Покажем, что есть -проектор . Пусть .

Предположим, что

. Тогда в существует такая максимальная подгруппа , что . Так как некоторая -холловская подгруппа группы содержится в и -нильпотентна, то является нильпотентной группой. Поэтому максимальная подгруппа

Следовательно,

. Для любого подгруппа является -картеровой подгруппой группы , а значит, и По индукции для теорема верна, поэтому и сопряжены в . Тогда по обобщенной лемме Фраттини , что противоречит тому, что и . Значит, т.е. есть -проектор . Так как любые два -проектора сопряжены в то этим доказательство теоремы завершено.