Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 18 из 20)

Следующая теорема указывает на существование и сопряженность подгрупп, являющихся обобщением подгрупп Гашюца в

-разрешимой группе.

3.1.10 Т е о р е м а.Любая

-разрешимая группа

обладает

-гашюцевой подгруппой и любые две из них сопряжены в

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

– класс -сверхразрешимых групп. Так как является насыщенной формацией, то – класс Шунка. Если , то и , так как Поэтому есть -класс Шунка. м

Пусть

– -просктор группы . Тогда -свсрхразрешима и по теореме 3 содержит некоторую -холловскую подгруппу группы . Предположим, что и – простое число. Возьмем в минимальную нормальную подгруппу Тогда

и

– самоцентрализуемая подгруппа в . Поэтому

изоморфна подгруппе циклической группы

. Таким обрaзом, сверхразрешима, т.е. принадлежит . Так как – -проектор , то получаем . Противоречие. Следовательно, если , то есть составное число. Первая часть теоремы доказана.

Пусть

– -гашюцева подгруппа группы . Пусть и . Предположим, что . Тогда содержится в некоторой максимальной подгруппе группы . Так как является максимальной подгруппой -сверхразрешимой группы и содержит -холловскую подгруппу группы , то для некоторого , что дает противоречие . Значит т.е. есть -проектор группы . Так как любые два -проектора сопряжены в , то этим доказательство теоремы завершено.

Проекторы произведений ди-

-разложимых групп

3.2.1 Т е о р е м а.Пусть

–

-класс Шунка,

– произведение

-разложимых подгрупп

и

группы

причем

Тогда в имеется факторизуемый относительно -проектор.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что теорема не верна. Пусть

– ди- -разложимая группа такая, что любой -проектор группы не факторизуется относительно

Пусть

– минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для фактор-группы утверждение теоремы выполняется. Следовательно, существует – -проектор группы который факторизуется относительно то есть