Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 19 из 20)

и

Отсюда следует, что

и Тогда Откуда т.е. факторизуется относительно

Пусть

– некоторый -проектор группы . Тогда является -проектором группы и Рассмотрим два случая.

1)

Тогда – ди- -разложимая группа и для все условия теоремы выполняются. Поэтому найдется такой , что – факторизуемый -проектор группы , т.е. и Следовательно, – факторизуемый -проектор относительно

2) Пусть

для любой минимальной нормальной подгруппы и любого -проектора группы . Так как , то .

Если

– не примитивная группа, то ее любая примитивная факторгруппа принадлежит . Так как – класс Шунка, то и является своим -проектором. Получили противоречие с выбором .

Пусть

– примитивная группа. Тогда по теореме Бэра имеет единственную минимальную нормальную подгруппу такую, что – -группа, – некоторое простое число. и , где – некоторая максимальная подгруппа группы . Ясно, что и является -проектором группы .

Пусть

. Тогда из того, что – -класс Шунка, следует . Противоречие с выбором .

Остается принять, что

Следовательно, является силовской -подгруппой, а – -холловской подгруппой.

Следовательно,

поэтому найдется такой что факторизуется относительно

Теорема доказана.

Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее:

3.2.2 С л е д с т в и е.Пусть

– насыщенная формация, причем

Если

– ди-

-разложимая группа, причем

то в

имеется хотя бы один факторизуемый относительно

-проектор.

3.2.3 О п р е д е л е н и е.Подгруппу

группы

назовем

-картеровой подгруппой, если

-нильпотентна,

и

содержит некоторую

-холловскую подгруппу группы

.

3.2.4 С л е д с т в и е.Пусть

– ди-

-разложимая группа. Тогда в

имеется хотя бы одна факторизуемая относительно

-картерова подгруппа.

3.2.5 О п р е д е л е н и е.Подгруппу

группы

назовем

-гашюцевой подгруппой, если

-сверхразрешима, содержит некоторую

-холловскую подгруппу группы

и для

есть составное число.