1.1.7 О п р е д е л е н и е.Группа дисперсивна, если она обладает нормальным рядом, факторы которого изоморфны силовким подгруппам.
1.1.8 О п р е д е л е н и е.Формацией называется класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
1.1.9 О п р е д е л е н и е.Формация называется насыщенной, если она является насыщенным классом, т.е. если то
1.1.10 О п р е д е л е н и е.Класс называется примитивно замкнутым классом, если все примитивные факторгруппы группы принадлежат , то
1.1.11 О п р е д е л е н и е.Классом Шунка называется класс групп, который одновременно замкнут относительно факторгрупп и является примитивно замкнутым классом.
1.1.12 О п р е д е л е н и е.Если – подгруппа группы и то называется -подгруппой.
1.1.13 О п р е д е л е н и е. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.
1.1.14 О п р е д е л е н и е.Пусть – некоторый класс групп. Подгруппа группы называется -проектором, если выполнены условия: и из того, что , а , всегда следует
1.1.15 О п р е д е л е н и е.Подгруппу группы назовем -картеровой подгруппой, если -нильпотентна, и содержит некоторую -холловскую подгруппу группы .
1.1.16 О п р е д е л е н и е.Подгруппу группы назовем -гашюцевой подгруппой, если -сверхразрешима, содержит некоторую -холловскую подгруппу группы и для индекс есть составное число.
1.1.17 О п р е д е л е н и е.Пересечение всех нормальных подгрупп группы факторгруппы по которым принадлежат обозначают через и называют -корадикалом группы
1.1.18 О п р е д е л е н и е. -класс Шунка – класс Шунка, для которого из условия , всегда следует .
Факторизуемые подгруппы произведений конечных групп
В настоящем разделе излагается подробно теория факторизуемых подгрупп теории конечных групп, взятая из [32] c точными ссылками на работы авторов приведенных результатов.
1.2.1 Л е м м а.Пусть – некоторая группа, и – ее подгруппы. Подгруппы и перестановочны тогда и только тогда, когда произведение является подгруппой группы .
(Говорят, что непустые множества
и элементов группы перестановочны, если .)Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть подгруппы
и перестановочны. Тогда, очевидно (Если – непустое множество элементов некоторой группы, то, как обычно, .)С учетом последних соотношений множество
является подгруппой группы .Достаточность. Пусть подмножество
является подгруппой. Тогда, очевидно, т.е. подгруппы и перестановочны.Лемма доказана.
1.2.2 О п р е д е л е н и е.Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и . Если , то будем говорить, что подгруппа факторизуема относительно разложения
1.2.3 Л е м м а (Виландт[4]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и ; – некоторая подгруппа группы и – нормализатор подгруппы в . Подгруппа факторизуема относительно разложения если выполняется следующее условие: