Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 4 из 20)
(*) всякий раз, когда для элементов
и 
элементы
и 
содержатся в 
.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие (*),
и – произвольные элементы соответственно из 
и 
, для которых 
. Тогда выполняется соотношение (1) и, следовательно, 
и 
Поэтому ввиду произвольности элементов и 
и, значит, 
. Лемма доказана.1.2.4 Л е м м а.Пусть 
– группа, факторизуемая двумя подгруппами и ; 
– подгруппа, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами соответственно групп 
и 
и – нормализатор подгруппы в . Подгруппа факторизуема относительно разложения 
тогда и только тогда, когда выполняется условие (*) из формулировки леммы 1.2.3.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если условие (*) выполняется, то по лемме 1.2.3 подгруппа
факторизуема относительно разложения 
Пусть подгруппа факторизуема относительно разложения 
и – какие-нибудь элементы соответственно из подгрупп и , такие, что выполняется соотношение (1). Поскольку 
то для некоторых элементов 
и 
Отсюда получаем 
Очевидно,
Поэтому с учетом соотношений (2) и Лемма доказана.1.2.5 Л е м м а.Пусть – группа, – ее подгруппа и – элемент группы некоторая натуральная степень которого содержится в . Тогда подгруппа не является истинной подгруппой группы 
.
(Подгруппа, отличная от самой группы, называется ее истинной подгруппой.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если бы
была истинной подгруппой группы , то она, как легко убедиться, была бы и истинной подгруппой группы 
при любом натуральном 
, в том числе при , для которого 
, что невозможно. Лемма доказана.1.2.6 Л е м м а.Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами 
и 
Пусть, далее 
– некоторые инвариантные подгруппы соответственно групп 
– подгруппа, порожденная подгруппами 
и – нормализатор подгруппы в 
Подгруппа факторизуема относительно разложения 
если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) ни для какого элемента
подгруппа не является истинной подгруппой группы 
2) ни для какого элемента
подгруппа не является истинной подгруппой группы 
3) подгруппа
не изоморфна ни одной из своих истинных подгрупп (в частности, конечна;)4) по крайней мере одна из фактор-групп
и 
периодическая.1.2.7 Л е м м а (Дедекинд).Пусть 
– подгруппа группы и – подгруппа из 
. Тогда для любой подгруппы группы выполняется соотношение