Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 5 из 20)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

и – произвольные элементы соответственно подгрупп и . Тогда и и, значит, . Следовательно, С другой стороны, если для некоторых элементов и то и, значит, Следовательно, Итак, соотношение (3) выполняется. Лемма доказана.

1.2.8 Л е м м а (С.Н. Черников [17]).Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

, и

– подгруппа группы

, содержащая

. Тогда

1.2.9 Л е м м а (Сесекин [18]).Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

;

– некоторая инвариантная подгруппа группы

и

Тогда выполняются соотношения

Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая, что

и и используя лемму 1.2.7, получаем

Покажем, что

Так как и , то Пусть – произвольный элемент из и где и Тогда значит, Поэтому ввиду произвольности Следовательно, с учетом соотношений (5) и, значит, Таким образом, все соотношения (4) выполняются. Лемма доказана.

1.2.10 Л е м м а.Пусть

– группа, разложимая в произведения

некоторых подгрупп

и и конечной подгруппы . Тогда индексы подгруппы в группах , и конечны и выполняются соотношения

Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом соотношений (6), очевидно,

Поэтому

Лемма доказана.

1.2.11 Л е м м а.Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

пересечение которых периодическое, и

– локально конечная подгруппа группы

порожденная некоторым множеством конечных инвариантных подгрупп группы

и

Тогда

1.2.12 Л е м м а.Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

;

– конечная подгруппа группы

, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами групп

и

и

– нормализатор подгруппы

в

. Тогда найдутся, перестановочные подгруппы

и

каждая из которых может быть порождена не более чем

элементами, такие, что

Примечание. В случаях, когда подгруппа

инвариантна в и когда она порождена некоторой инвариантной подгруппой группы и некоторой инвариантной подгруппой группы , существование перестановочных подгрупп и каждая из которых порождена не более чем элементами, таких, что установил Кегель [19] (см. в [19] лемму 1.3 и ее доказательство.)