1.2.13 Л е м м а (Амберг [20]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и и – некоторые подгруппы конечных индексов соответственно групп и – подгруппа, порожденная и Тогда индекс подгруппы в конечен.
1.2.14 Л е м м а (Амберг [21]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и с конечными фактор-группами и Тогда фактор-группа конечна и
1.2.15 С л е д с т в и е.Пусть – группа, факторизуемая попарно перестановочными подгруппами , с конечными фактор-группами Тогда фактор-группа конечна и .
1.2.16 Л е м м а.Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и и – некоторые непустые инвариантные множества элементов соответственно групп и Тогда для любых элементов и группы найдется такой ее элемент что и
1.2.17 Л е м м а (Виландт [16]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и Тогда для любых элементов и группы во-первых, найдется такой ее элемент что и и, во-вторых, выполняется соотношение
1.2.18 Л е м м а (Виландт [16]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и – некоторая подгруппа группы Следующие условия равносильны:
1) подгруппа
факторизуема относительно разложения и содержит пересечение2) каковы бы ни были элементы
и произведение содержится в в том и только том случае, когда элементы и содержатся вД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие 1). Покажем, что выполняется условие 2).
Пусть
и – элементы, для которых Так как подгруппа факторизуема относительно разложения то для некоторых элементов и Отсюда получаеми
Итак, при условии 1) выполняется условие 2). Обратное очевидно. Лемма доказана.
1.2.19 С л е д с т в и е.Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и – подгруппа группы содержащая пересечение и факторизуемая относительно разложения и – некоторые подгруппы соответственно групп и содержащие пересечение При этих условиях подгруппа факторизуема подгруппами и тогда и только тогда, когда и