Смекни!
smekni.com

Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 6 из 20)

1.2.13 Л е м м а (Амберг [20]).Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами
и
и
– некоторые подгруппы конечных индексов соответственно групп
и
– подгруппа, порожденная
и
Тогда индекс подгруппы
в
конечен.

1.2.14 Л е м м а (Амберг [21]).Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами
и
с конечными фактор-группами
и
Тогда фактор-группа
конечна и

1.2.15 С л е д с т в и е.Пусть

– группа, факторизуемая
попарно перестановочными подгруппами
,
с конечными фактор-группами
Тогда фактор-группа
конечна и
.

1.2.16 Л е м м а.Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами
и
и
– некоторые непустые инвариантные множества элементов соответственно групп
и
Тогда для любых элементов
и
группы
найдется такой ее элемент
что
и

1.2.17 Л е м м а (Виландт [16]).Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами
и
Тогда для любых элементов
и
группы
во-первых, найдется такой ее элемент
что
и
и, во-вторых, выполняется соотношение

1.2.18 Л е м м а (Виландт [16]).Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами
и
– некоторая подгруппа группы
Следующие условия равносильны:

1) подгруппа

факторизуема относительно разложения
и содержит пересечение

2) каковы бы ни были элементы

и
произведение
содержится в
в том и только том случае, когда элементы
и
содержатся в

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие 1). Покажем, что выполняется условие 2).

Пусть

и
– элементы, для которых
Так как подгруппа
факторизуема относительно разложения
то
для некоторых элементов
и
Отсюда получаем

и

Итак, при условии 1) выполняется условие 2). Обратное очевидно. Лемма доказана.

1.2.19 С л е д с т в и е.Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами
и
– подгруппа группы
содержащая пересечение
и факторизуемая относительно разложения
и
– некоторые подгруппы соответственно групп
и
содержащие пересечение
При этих условиях подгруппа
факторизуема подгруппами
и
тогда и только тогда, когда
и