Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 8 из 20)
1.2.26 Л е м м а (Н.С. Черников [25], Зайцев [26]).Пусть 
– конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами 
и 
; 
и 
– некоторые подгруппы соответственно групп и 
– подгруппа, порожденная подгруппами и 
Тогда выполняется следующее неравенство для индексов:
1.2.27 Л е м м а (Виландт [23]).Пусть – конечная группа, факторизуемая 
попарно перестановочными нильпотентными подгруппами 
Если произведение каждых двух подгрупп 
является разрешимой группой, то группа разрешима.
1.2.28 Л е м м а.Пусть группа факторизуема двумя подгруппами – инвариантной подгруппой и некоторой подгруппой – непустое множество элементов подгруппы 
такое, что 
Тогда выполняются соотношения
1.2.30 Л е м м а (Н.С. Черников [27]).Пусть – конечная группа, разложимая в произведения 
некоторых подгрупп и и нильпотентной подгруппы 
– подгрупа группы 
содержащая 
такая, что пересечения 
и 
нильпотентны. Тогда если подгруппы и инваривнтны соответственно в и то их нормальные замыкания в нильпотентны.
1.2.31 Л е м м а.Произвольная группа, которая может быть получена каким-нибудь конечным множеством своих субнормальных нильпотентных подгрупп конечного индекса, нильпотентна.
1.2.32 Т е о р е м а (Ф. Холл [28]).Для произвольной конечной разрешимой группы справедливо утверждение: при любом непустом множестве 
простых чисел силовские -подгруппы группы сопряжены в ней и являются ее холловыми -подгруппами.
1.2.33 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30], Чунихин [29]).
1) Конечная группа
обладающая для любого 
холловой 
-подгруппой, разрешима.2) Конечная группа
представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных -подгрупп по разным простым (или, что равносильно, обладающая полной силовской базой, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных примарных подгрупп), разрешима.1.2.34 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30]).Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она разложима в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым 
1.2.35 Т е о р е м а (Кегель [31] – Виландт [4]).Конечная группа, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных нильпотентных подгрупп, разрешима.
1.2.36 Т е о р е м а.Пусть – некоторое множество простых чисел; – группа, факторизуемая подгруппами и где – -группа, а такова, что 
Тогда является силовской -подгруппой группы 
1.2.37 Л е м м а.Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и где – -, а – 
-подгруппа группа Если в все силовские -подгруппы или все силовские -подгруппы сопряжены, то 
1.2.38 Л е м м а (Гардинер, Хартли, Томкинсон [33]).Пусть – группа, 
– ее инвариантная подгруппа, 
– -подгруппа группы для некоторого непустого множества простых чисел. Если 
является силовской -подгруппой группы и 
– силовской -подгруппой группы 
то 
является силовской -подгруппой группы