1.2.39 Т е о р е м а (С.Н. Черников [34, 35]).Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.
2.1.1 Л е м м а.Пусть группа есть произведение своих подгрупп и , – некоторое множество простых чисел. Тогда справедливы следующие утверждения.
1) пусть
является -группой, а и – -группами. Тогда найдутся холловы -подгруппы и подгрупп и соответственно такие, что есть холлова -подгруппа ;2) если подгруппы
и -замкнуты, то .2.1.2 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]).Пусть – ненильпотентная разрешимая группа, где и – -разложимые подгруппы группы . Если имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , где и , то справедливы следующие утверждения:
1)
;2)
;3) если
, то является -группой, а – -группой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим справедливость утверждения 1). Так как
ненильпотентна, и – минимальная нормальная подгруппа в , то в найдется максимальная подгруппа такая, что . Из единственности и следует, что , т.е. . Кроме того, .Ввиду 1) леммы 2.1.1 в
и существуют холловы -подгруппы и соответственно и силовские -подгруппы и соответственно такие, что есть холлова -подгруппа, а есть силовская -подгруппа группы .По условию
и . ПоэтомуОткуда
, так как . Но . Значит, .Рассмотрим пересечение
. Так как , – -группа и все дополнения к в сопряжены, то можно считать, что . Возьмем подгруппу Фиттинга подгруппы . Поэтому, . Следовательно, – -группа. Так как , то . Поэтому . Отсюда и из следует, что . Заметим, что является силовской -подгруппой в . Поэтому . Ввиду минимальности либо , либо . Случай невозможен, так как . Поэтому , т.е. . Теперь из , и получаем, что – -группа. Из -разложимости и следует, что . Но тогда . Это означает, что .