Смекни!
smekni.com

Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 9 из 20)

1.2.39 Т е о р е м а (С.Н. Черников [34, 35]).Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.

Строение групп, представимых в произведение ди-
-разложимых групп

Строение примитивных ди-
-разложимых групп

2.1.1 Л е м м а.Пусть группа

есть произведение своих подгрупп
и
,
– некоторое множество простых чисел. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) пусть

является
-группой, а
и
-группами. Тогда найдутся холловы
-подгруппы
и
подгрупп
и
соответственно такие, что
есть холлова
-подгруппа
;

2) если подгруппы

и
-замкнуты, то
.

2.1.2 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]).Пусть

– ненильпотентная разрешимая группа, где
и
-разложимые подгруппы группы
. Если
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
, где
и
, то справедливы следующие утверждения:

1)

;

2)

;

3) если

, то
является
-группой, а
-группой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим справедливость утверждения 1). Так как

ненильпотентна,
и
– минимальная нормальная подгруппа в
, то в
найдется максимальная подгруппа
такая, что
. Из единственности
и
следует, что
, т.е.
. Кроме того,
.

Ввиду 1) леммы 2.1.1 в

и
существуют холловы
-подгруппы
и
соответственно и силовские
-подгруппы
и
соответственно такие, что
есть холлова
-подгруппа, а
есть силовская
-подгруппа группы
.

По условию

и
. Поэтому

Откуда

, так как
. Но
. Значит,
.

Рассмотрим пересечение

. Так как
,
-группа и все дополнения к
в
сопряжены, то можно считать, что
. Возьмем подгруппу Фиттинга
подгруппы
. Поэтому,

. Следовательно,
-группа. Так как
, то
. Поэтому
. Отсюда и из
следует, что
. Заметим, что
является силовской
-подгруппой в
. Поэтому
. Ввиду минимальности
либо
, либо
. Случай
невозможен, так как
. Поэтому
, т.е.
. Теперь из
,
и
получаем, что
-группа. Из
-разложимости
и
следует, что
. Но тогда
. Это означает, что
.