О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 12 из 17)
(2) Группа 
не является разрешимой.
Допустим, что
разрешима и пусть 
--- произвольная максимальная подгруппа группы 
. Тогда 
для некоторого простого 
. Без ограничения общности мы можем предположить, что 
. Согласно теоремы , 
для некоторого 
. Покажем, что 
сверхразрешима. Используя тождество Дедекинда, получаем 
, где 
и 
--- сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков. Пусть 
--- произвольная подгруппа группы 
простого порядка или порядка 4. И пусть 
--- подгруппа группы 
. Тогда по условию 
для некоторого 
. Поскольку 
, то 
. Значит, теорема справедлива для и ее подгрупп 
и 
. Так как 
, то по выбору группы , заключаем, что подгруппа сверхразрешима, и поэтому 
тоже сверхразрешима. Следовательно, каждая максимальная подгруппа группы 
сверхразрешима, что невозможно в силу (1). Этим доказано (2).(3) Группа имеет нормальную силовскую подгруппу.
Пусть
--- наибольший простой делитель 
. Без ограничения общности, мы можем предположить, что 
. Пусть 
--- силовская 
-подгруппа группы 
. Так как по условию, 
сверхразрешима, то ввиду леммы , 
. Пусть 
--- силовская 
-подгруппа группы 
, где 
. Тогда для некоторого 
, 
. Предположим, что 
. Согласно леммы , 
и поэтому 
. Тогда для некоторого 
, 
. Если 
, то по теореме Бернсайда, 
разрешима, что невозможно в силу (2). Значит, 
. Так как теорема справедлива для группы 
, то по выбору группы , мы заключаем, что группа 
сверхразрешима. Это влечет 
. Следовательно, 
.(4) Заключительное противоречие.
Пусть
--- нормальная силовская подгруппа группы 
. Тогда 
для некоторых 
и 
. Без ограничения общности, мы можем предположить, что 
. Покажем, что теорема справедлива для 
.Подгруппы
и 
являются сверхразрешимыми подгруппами группы 
взаимно простых порядков. Предположим, что 
. Пусть 
--- произвольная подгруппа группы простого порядка (порядка 2 или 4, в случае, когда 
). Тогда по теореме Шура-Цассенхауза , группа имеет такую подгруппу , что 
и 
. Пусть 
--- подгруппа группы 
. Используя тождество Дедекинда, мы имеем 
. По условию для некоторого 
, 
и поэтому